Haben Standard-Gateway und DHCP-Server die gleiche IP?

Nicht zwangsläufig.

In den meisten Heimnetzwerken übernimmt aber der Router die Aufgabe des DHCP-Servers und dient auch als Standardgateway, wodurch die IP-Adresse dann auch für beides identisch ist.

In der Praxis vielleicht, aber m. E. hat das eine mit dem anderen wenig (nichts) zu tun.

Ja, nein, Vielleicht.

Auf einem IAD (z.B. daheim) läuft in der Regel auch ein DHCP-Server. In dem Falle sind Default-Gate und DHCP in Personalunion.

Allgemein muß das nicht so sein, im Gegenteil, es kann auch einen (oder mehrere) zentrale(n) DHCP geben, die dann mit Relay Agents etc. ganze Infrastrukturen bedienen.