Habe ich Aufgabe 5 richtig gelöst (Mathe)?
1 Antwort
a)
Nicht korrekt.
i |z| = konj(z)
i |a + b i| = konj(a + b i)
i √(a² + b²) = a – b i
–(a² + b²) = a² – 2 a b i – b²
0 = 2 a² – 2 a b i
0 = 2 a (a – b i)
0 = 2 Re(z) konj(z)
Das ist nur für Re(z) = 0 oder konj(z) = 0 der Fall. Die Menge besteht also aus der Realachse.
b)
Nicht korrekt.
1 – i Im(1 / z) = z
1 – i Im(1 / (a + b i)) = a + b i
1 – i Im((a – b i) / (a² + b²)) = a + b i
1 – i (–b i) / (a² + b²) = a + b i
1 – b / (a² + b²) = a + b i
Links steht ein realer Term, links ein allgmein nicht zwingend realer. Daher muss b = 0 sein und wir erhalten 1 = a. Die Menge besteht also nur aus der Zahl 1.
c)
|z| > |z + 1|
|a + b i| > |a + b i + 1|
√(a² + b²) > √((a + 1)² + b²)
a² + b² > (a + 1)² + b²
a² > (a + 1)²
0 > 2 a + 1
–1/2 > a
Die Menge besteht also aus allen Zahlen a + b i mit a < –1/2. In der Gaußschen Zahlenebene entspricht dies einer unendlich großen Fläche links des Ursprungs, die durch die Gerade, die parallel der Imaginärachse ist und durch die Zahl z = –1/2 läuft, beschränkt ist (die Gerade selbst gehört nicht zur Menge).