Gleichung nach x umstellen mit x^3?
x^3 - 2x - 4 = 0 ... (x € R)
Lösung soll x = 2 sein.
Wie kommt man darauf?
danke :)
3 Antworten
Zwar gibt es eine (komplexe Zahlen benutzende, also relativ komplizierte) Lösungsformel für kubische Gleichungen, aber ich würde folgendes überlegen:
Die reellwertige Funktion x → x³-2x-4 ist eine Polynomfunktion 3.Grades, muss also (aufgrund des Kurvenverlaufs für solche Funktionen!) eine reelle Nullstelle haben. Für eine solche (nennen wir sie z) muss gelten: z³ -2z = 4. Setzt man für z keine ganze Zahl ein, so könnte man sich wundern, dass dann z³-2z eine ganze Zahl ergeben sollte (nämlich 4). Ein zwingender Schluss ist es zwar nicht, aber du hast ja auch nur gefragt, wie man "darauf kommen" kann... : Denn dies ist die Stelle, bei der man den Verdacht schöpfen würde, dass z selbst eine ganze Zahl sein muss. (Setz mal einen gekürzten Bruch oder eine Wurzel ein, das wird ein hoffnungsloser Fall! Wie gesagt, das ergibt an dieser Stelle nur ein Gefühl, keinen zwingenden Schluss!)
Wenn man aber erst mal den Blick auf ganze Zahlen für die Lösung z gerichtet hat, so geht es weiter:
Denn es ist ja dann
4 = z³ -2z = z(z²-2)
eine Gleichung, in der nur ganze Zahlen vorkommen, und die zuletzt angegebene Produktdarstellung zeigt ja, dass z ein Teiler von 4 sein muss! (z mal "irgendwas aus Z" ergibt ja 4.) Daher kämen - immer unter der nicht etwa erschlossenen, sondern nur vermuteten Annahme, z müsse wohl eine ganze Zahl sein - für z nur die Werte
1, -1, 2, -2, 4, -4
in Frage, denn andere Teiler hat 4 nicht. Nun setzen wir diese Werte einfach mal in die Gleichung ein, und... Sesam öffne dich: z=2 ist ein Volltreffer.
Nachdem wir nun wissen, dass z=2 die Gleichung löst, müssen wir uns über den Weg dahin auch nicht mehr schämen. Im Gegenteil, unsere gefühlsmäße Erwartung hat sich bestätigt. Darauf kann man stolz sein. ;-)
Und man muss nicht einfach raten! Da geht schon ein bisschen mehr an Überlegung, allerdings (so wie oben) kein Ochsenpfad zur Lösung.
Zusatz: Bei Gleichungen der gegeben Art (mit lauter ganzzahligen Koeffizienten) würde ich es immer zunächst mit den Teilern des absoluten Gliedes (oben: 4) versuchen. Denn wenn die gesuchte Lösung in Z liegt, muss sie ein Teiler des absoluten Gliedes sein (s.o.). Und es gibt eben gute Gründe für die "Hoffnung", dass sie tatsächlich in Z liegt (nur nicht zwingend; s.o.).
Bei ganzrationalen Funktionen über Grad 2 - also hier - muss man eine bis mehrere Lösungen raten. Eine Funktion dritten Grades kann man nicht nach einem bestimmten Schema nach x umstellen, außer in ein paar Ausnahmefällen. Die sind hier aber nicht gegeben.
x= 2 ist hier die einzige Nullstelle, darum bleibt nur das Raten.
Guck dir Polynomdivision an... so Gleichungen löst man so. Oder du benutzt Poly-solv am Taschnerechner