Gibt es Tricks, um komplexe unterbesetze LGS mit "erraten" einer Teillösung(erstes x=n*lambda mit n!= 1) zu lösen?
Ich habe aus einem Übungsbuch eine komplexe LGS Aufgabe gelöst, aber habe Ewigkeiten gebraucht und sehr viel herumprobiert und einen Wert aus der vorgegeben Lösung eingesetzt, um überhaupt dort zu landen.
Nun frage ich mich, ob ich einen Trick übersehe oder ob es dafür keine besseren Lösungswege gibt, da ich im Netz keine besseren Tipps gefunden habe?
Es war ein unterbesetztes LGS wobei alle Wahlen von x1,x2,x3,x4 = lambda nur zu hässlichen Brüchen geführt haben.
Man musste also zuerst eine Lösung für eines der x1,x2,x3,x4 finden und in dieser Aufgabe war keine Wahl reell sondern alle waren Komplex und weit weg von (1+i) oder ähnlichem - eher Zahlen wie(43+141i).
Ich habe keine Ahnung, wie ich auf so eine Lösung kommen soll ohne mir zumindest eine Lösung anzuschauen und dann herumzuprobieren, wie ich zu diesem Wert gelange über Umformungen und addition bzw subtraktion von Zeilen zu Anderen.
Ich kann die Aufgabe leider nicht vollständig hier eingeben, aber mein Problem ist es bei Komplexen LGS zu erkennen, welche Zeilen ich mit welchen verrechnen muss, um schöne werte herauszubekommen, denn ich bin regelmäßig bei Zwischenergebnissen gelandet, nach denen die Zeilen ungefähr so aussahen:
34/135+173/135i bis sie im Endergebnis dann im Nenner 4-6 stellige Zahlen ergeben haben. Habe ich dann versucht die Lösungen einzusetzen, hat dies auch nicht mehr zu den richtigen Ergebnissen geführt, was denke ich an rundungsfehlern liegen muss.
Ich habe schon alle möglichen Tricks eingesetzt, wie die Multiplikation von Zeilen mit Reellen sowie komplexen Zahlen und Brüchen, die Reellmachung der Nenner durch Multiplikation mit bruch*(konjugation/konjugation) und multiplikation mit i um die ordnung der real und imaginärteile zu verändern, aber, selbst wenn ich dachte, jetzt etwas schlaues gemacht zu haben ist woanders in der Zeile ein unmöglicher Wert entstanden.
Vielleicht habe ich auch einfach nicht das Auge für Komplexe Zahlen und Brüche und, wie man erkennt, welchen Faktor man wählen muss, aber dann wird es dafür ja bestimmt gewisse Möglichkeiten geben.
Kann mir jemand erklären, was es für Möglichkeiten gibt, bei Komplexen LGS zuerst zu prüfen, um zu erkennen, welche Zeilen man wählen sollte und, wie man den richtigen Faktor für die Spaltenmultiplikation findet, um hässliche Ergebnisse zu vermeiden?
Ich habe eine Beispielaufgabe erstellt aber ich bin leider nicht ganz sicher, ob diese überhaupt eine so schöne Lösung hat wie die Aufgaben aus meinem Buch... Sie soll mehr zur veranschaulichung dienen:
(1) (1+i) (-4i) (5i) | (-5+29i)
(7) (3i) (5) (2-3i) | (15-13i)
(i) (0) (4) (i) | (-1+3i)
Die Lösung sähe dann ungefähr so aus:
L= {(2+i),(3i),(-i),(5)} + lambda*{(),(),(),()}
Allerdings bin ich mir hier nicht mehr sicher, wie ich die Aufgabe so erstelle, dass auch hinter dem lambda noch alles stimmt, aber bei meiner Aufgabe waren hinter dem Lambda dann werte wie 43+141i usw.
Vielen Dank!
1 Antwort
Versuche es mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren, dieses bringt mit dem selben System immer die Lösungen ohne sich viel Kopfzerbrechen machen zu müssen. Es scheint, als gebe es unendlich viele Lösungen, da bleibt am Ende eben eine Variable übrig.
Das habe ich gemacht, aber bei ungünstiger Wahl der elimination ergibt es immer hässliche Lösungen und nur die Richtigen führen zu einer schönen Lösung, ich versuche herauszufinden, wie man schon vorher erkennen kann welche diese richtigen Transformationen sind.