Gibt es einen unterschied zwischen d/dt und del/delt?

del kennen ich aus mehrdimensionalen differentiationen wie zb dem nabla operator.

nun hab ich mir die frage gestellt ob es einen unterschied macht wenn ich eine gleichung nach t ableite ob ich nun del oder d nehme? Und wenn ja warum?

Answer 1

[JCMaxwell]

Das kommt ganz auf den Kontext an. Wenn du eine Funktion

$f:t\mapsto f(t)$

betrachtest, dann ist es wirklich nur eine Frage des Geschmacks, welche Variante du verwendest. Vermutlich ist d/dt etwas sauberer, da es sich ja tatsächlich um die (totale) Ableitung der Funktion handelt.

Wenn du aber mal in die Physik guckst, gilt es etwas aufzupassen. Zum Beispiel kannst du ein zeitabhängiges skalares Feld f betrachten, d.h. eine Funktion

$f:(t,x,y,z)\mapsto f(t,x,y,z)$

Ab und an möchte man ein solches Feld entlang einer Trajektorie auswerten, welche man etwa nach der Zeit t parametrisieren kann. Dann verwendet man den gleichen Buchstaben f, meint damit aber eigentlich die Abbildung

$f^*(t)\equiv f(t,x(t),y(t),z(t))$

In diesem Fall macht es einen Unterschied, wie du ableitest und welches Symbol du verwendest. Nach Kettenregel gilt nämlich

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt}$

Beachte, dass das f auf der linken Seite eigentlich für f^* steht, während wir auf der rechten Seite wirklich f partiell ableiten und dann an der Stelle (t ,x(t), y(t), z(t)) auswerten. In jedem Fall zeigt der Ausdruck, dass die totale und partielle Ableitung nach der Zeit im Allgemeinen nicht identisch sind.