Gibt es ein Viereck mit genau 3 Symmetrieachsen?

Nein. - Aber der Beweis, meine Damen und Herren?

Vielleicht ist das Viereck mit drei Symmetrieachsen einfach noch nicht entdeckt?

"Man wusste" ja auch über Jahrhunderte, dass sich ein 17eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt, ein Beweis dieser "Selbstverständlichkeit" wurde nicht geführt. - Es geht aber bekanntlich trotzdem.

Vielleich geht es ja einfacher als von mir angeführt, aber "einfach so behaupten" ist in Mathe nie gut.

Zur Begründung betrachte ich zunächst Drehsymmetrien. Ein Viereck ist höchstens dann drehsymmetrisch, wenn der Winkel der Drehung 360°/4 = 90° oder ein ganzzahliges Vielfaches davon ist. (1)

Wenn ein Viereck zu zwei Achsen symmetrisch ist, die einander in einem Winkel α schneiden, so ist es zum Winkel 2α drehsymmetrisch , weil die Verkettung zweier Geradenspiegelungen an nicht parallelen Achsen immer eine Drehung ist.

Wegen (1) können also die Symmetrieachsen eines Vierecks einander paarweise nur unter einem ganzzahligen Vielfachen des Winkels 90°/2 = 45° schneiden (...weil es sonst eine Drehsymmetrie gäbe, die es nicht gibt). Wenn ein Viereck mehr als eine Symmetrieachse hat, gibt es daher nur zwei Fälle:

...

(Fall a) Es gibt zwei Symmetrieachsen, die sich mit Schnittpunkt M unter dem Winkel von α/2 = 45° schneiden. Dieser Fall schließt auch alle Schittwinkel α/2 ein, die ein ungeradzahliges Vielfaches von 45° sind (warum? Eine Skizze ist hilfreich).

Dann ist das Viereck drehsymmetrisch mit Drehwinkel α = 90°.

Da aber eine Drehung um 90° sich auf beliebige Weise in zwei Geradenspiegelungen zerlegen lässt, wenn nur die Spiegelachsen paarweise den Winkel 45° einnehmen, ist ein solches Viereck zu allen Achsen symmetrisch, die durch Drehung um M um ein beliebiges Vielfaches von 45° aus den beiden vorgegebenen entstehen.

Da es durch einen beliebigen Punkt M in der Ebene vier solche Geraden gibt, hat das Viereck in diesem Fall genau 4 Symmetrieachsen.

...

(Fall b) Es gibt zwei Symmetrieachsen, die sich mit Schnittpunkt M unter dem Winkel von α/2 = 90° schneiden. Dieser Fall schließt auch alle Schittwinkel α/2 ein, die ein geradzahliges Vielfaches von 45° sind (warum diesmal?) Also sind (a) und (b) alle Möglichkeiten beschrieben.

In Fall (b) ist das Viereck drehsymmetrisch mit Drehwinkel α = 180° (also punktsymmetrisch zu M).

Da aber eine Drehung um 180° sich auf beliebige Weise in zwei Geradenspiegelungen zerlegen lässt, wenn nur die Spiegelachsen paarweise den Winkel 90° einnehmen, ist ein solches Viereck zu allen Achsen symmetrisch, die durch Drehung um M um ein beliebiges Vielfaches von 90° aus den beiden vorgegebenen entstehen.

Allerdings kommen in diesem Fall dadurch zu den vorgegebenen keine neuen Achsen hinzu, so dass das Viereck genau 2 Symmetrieachsen haben kann. Es hat genau dann genau zwei Symmetrieachsen, wenn der Fall (1) nicht eintritt (und also keine zwei Symmetrieachsen existieren, die den Winkel 45° bilden)

. ..

Ergebnis: Eine Viereck, das mehr als eine Symmetrieachse hat, hat entweder zwei oder aber vier Symmetrieachsen. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht.

Leider nein.
Entweder du hast eine (Drachenviereck, gleichschenkliges Trapez)
oder zwei (Rechteck, Raute) oder
sonst gleich vier (Quadrat).

Ja, gibt es.