Gewinnschwelle ausrechnen?
hallo! Ich hab hundertfach überlegt wie man die Gewinnschwelle ausrechnet und weiß einfach nicht wie! Kann mir jemand die Aufgaben lösen oder irgendwie helfen?
1 Antwort
Die Gewinnschwelle liegt da, wo der Gewinn positiv wird (Break-Even).
Zum besseren Verständnis habe ich die Gewinnfunktionen mal plotten lassen:
Am Graphen kann man sehen:
- für die Sorte weiße Limette (blau) sind sämtliche Produktionsmengen (= Produktionsintervall) größer als 6 gewinnbringend
- für die Sorte b) (rot) liegt das gewinnbringende Produktionsintervall zwischen 3 und 9 ME
- für die Sorte c (grün) liegt das gewinnbringende Produktionsintervall zwischen 2 und 6 ME.
Die mathematische Aufgabe besteht also darin, die Nullstellen der Gewinnfunktion zu ermitteln. Dazu muss man aus der Mathematik wissen:
- eine Funktion n-ten Grades hat maximal n Nullstelen. Hier haben wir Funktionen 3. Grades und damit maximal 3 Nullstellen (weniger können es immer sein, was hier aber nicht der Fall ist).
- Wir können mit der pq-Formel leicht die Nullstellen für quadratische Gleichungen finden. Bei Funktionen 3. Grades geht das nicht.
- Wenn eine Nullstelle gegeben ist wie hier, kann man die Funktion 3.Grades mit Polynomdivision auf eine Funktion 2. Grades reduzieren und dann die restlichen Nullstellen ausrechnen.
- bei jeder Nullstelle findet ein Vorzeichenwechsel statt.
So, machen wir mal Aufgabe a)
Die Funktion lautet:
G(x) = x^3 - 6x^2 -x + 6
Die erste Nullstelle liegt bei x = 6
Polynomdivision:
Ach, da brauchen wir gar keine pq-Formel für die weiteren Nullstellen:
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = ± √1 = ± 1
Wir haben also weitere Nullstellen bei 1 und bei -1. Nullstellen im negativen Bereich interessieren uns nicht, da die Produktionsmenge immer positiv ist.
Nun untersuchen wir den Bereich zwischen 1 und 6 auf das Vorzeichen und setzen dazu einen beliebigen Wert ein. 2 ist bequem zu rechnen, also:
G(2) = 2^3 - 6 * 2^2 - 2 + 6 = 8 - 24 - 2 + 6 = -12
Das gewinnbringende Intervall muss also kleiner als 1 oder größer als 6 ME sein. Kleiner als 1 ME macht wieder keinen Sinn, also lautet das Ergebnis:
Das gewinnbringende Intervall liegt bei Produktionsmengen größer als 6 ME.
b) Bei b liegt das gewinnbringende Produktionsintervall zwischen 3 und 9,3 ME
c) hier lautet das Ergebnis 2 < x < 6
