Gerade, die senkrecht auf einer Ebene steht und durch einen Punkt verläuft angeben?
Ich muss morgen 4 Übungsaufgaben abgeben. Davon hab ich jetzt schon 3 gemacht. Sitze nun schon knapp ne Stunde an der 4., aber komme einfach nicht voran.
Gegeben ist: - Ebene E: -21x - 28y + 14z = -14 und Punkt S(8, 9, 0)
Aufgabe: Geben Sie die Gleichung der Geraden h an, die senkrecht auf E steht und durch den Punkt S(8, 9, 0) verläuft.
Weiß nicht, wie ich jetzt mit diesen Angaben auf die Geradengleichung komme.
Hab soweit stehen: (-21, -28, 14) = (Ortsvektor) + t (8, 9, 0)
Ist das richtig soweit oder komplett falsch...Und wie komme ich auf den Ortsvektor? Wäre wirklich schön, wenn mir da jemand helfen könnte. Mathe ist nicht gerade meine Stärke^^"
3 Antworten
Nein, Deine Formel ist so nicht richtig. Du musst Dir zu allererst immer eine gescheite Skizze machen.
Die schwarze schiefe Linie soll Deine Ebene darstellen (nur im Prinzip). Der rote Vektor ist der Normalenvektor (-21,-28,14). Dieser hat zunächst nur die Eigenschaft, dass er auf der Ebenen senkrecht steht. Wenn Du diesen Vekor mit t multiplizierst
(-21, -28, 14) · t
Dann kannst Du mit Veränderung des Wertes t jeden beliebigen Punkt auf der Verlängerung des roten Vektors ansteuern. Du kannst dich auf einer gedachten Linie bewegen.
Du kannst aber trotzdem nicht den grünen Punkt P an der Stelle (8, 9, 0) ansteuern. Dazu müsste der parametrisierte Normalenvektor
(-21, -28, 14) · t noch zusätzlich verschoben werden. Und genau diesen Stützvektor sollst Du noch "ausrechnen". Ehrlich: Da gibt es nicht mehr viel zu rechnen. Überleg mal ganz scharf, welche Formulierung Dir eine Gerade beschreibt, die durch den Punkt P verläuft. Du bist nahe dran.
h =, (8,9,0) + t(-21,-28,14)
Anfangspunkt ist S ; jetzt der Richtungsvektor t . Stell dir mal eine zu der Ebene -e parallele EbenenSCHARF von ===> Äquipotenzialflächen vor
E = E ( x ; y ; z ) = - 3 x - 4 y + 2 z = const = c ( 1 )
( Den ggt = 7 habe ich mit in die Konstante gezogen. ) Wie du ja aus Erdkäs weißt, gibt dir der ===> Gradient eines Höhenlinienprofils immer die Richtung des steilsten Anstiegs und steht gleichzeitig senkrecht auf den Höhwnlinien. Dies gilt auch für Äquipotenzialflächen im Raum:
grad ( E ) = ( dE/dx | dE/dy | dE/dz ) = ( - 3 | - 4 | 2 ) ( 2 )
Der Gradient stellt also deinen richtungsvektor dar.