geht das bei Systemtheorie?
Hallo,
Das System bei a ist nicht linear, kann ich trotzdem die Beobachtbarkeitsmatrix benutzen ganz normal oder soll ich was anders tun ?
wenn ich den Teil C lösen will dann kommt alles null raus ! ist das möglich oder mach ich etwas falsch ?
1 Antwort
a)
Allgemein wird ein System als Beobachtbar bezeichnet, wenn aus der Beobachtung des Ausganges über einen endlichen Zeitraum die Bestimmung des Anfangszustandes möglich ist. Für autonome Systeme kann man wie folgt vorgehen:
y = x2
dy/dt = x1*(x1 + x2)
Fasse nun y und seine Ableitungen in einem Vektor zusammen:
z = [y, dy/dt]^T und entsprechend die rechten Seiten in einer Funktion q(x). Es gilt also:
q(x) = z
Existiert nun eine Inverse Funktion q^-1 , so dass gilt:
x = q^-1(z)
dann bezeichnet man das System als beobachtbar.
Hier folgt offensichtlich:
x2 = y
0 = x1^2 + y*x1 - dy/dt
wobei die zweite Gleichung offensichtlich nicht nach x1 eindeutig auflösbar ist. Das System ist also nicht beobachtbar.
b)
Das System liegt in nichtlinearer Regelungsnormalform vor. Es ist von der Form:
dx1/dt = x2
dx2/dt = a(x) + b(x)*u
Dieses ist genau dann steuerbar, wenn gilt: b(x) ungleich 0.
Dies ist jedoch für x1 = -x2 nicht erfüllt und somit ist das System nicht steuerbar.
c)
Bestimme zunächst die Ruhelage:
0 = (x1 - 1)^2 --> x1 = 1
0 = (x2 - 1)^2 --> x2 = 1
Entsprechend folgt durch Linearisieren:
dx1/dt = 0*x1 + 0*x2
dx2/dt = 0*x1 + 0*x2