Funktionsgleichung 3. Grades?
Hallo liebe Community.
Komme bei dieser Aufgabe einfach nicht auf die Lösung.
Gegeben ist dieser Graph (Bild) und ich soll aus diesem eine Funktionsgleichung basteln.
Ich hätte mit folgendem Ansatz gerechnet
WP (-2/-2)
P1 (-4/6)
P2 (0/-10)
f(-2)= -2; f(-4)= 6; f(0)= -10
und der Wendepunkt f“(-2)=0
Der Term „d“ müsste demnach -10 sein.
Weiter komme ich nicht. I weis nichtmal ob diese Bedingungen ausreichen um die Formel zu basteln.
Die Lösung wäre y= -(x+2)^3-2
Danke im voraus.
Lg (:
3 Antworten
Bei 4 Unbekannten braucht man 4 Gleichungen. Für könnte man die gegebenen Punkte einsetzen und das LGS lösen.Ich hätte f'(-2) = 0 statt einer anderen Gleichung verwendet.
Mit dem verschobenen Ansatzhätte manAus f'(-2) = 0 folgt c = 0 und aus f''(0) folgt b = 0.
Übrig bliebe dann nur noch Man sieht am Graphen wegen f'(-2) = f''(-2) = 0, dass es um eine Funktion der Form x ↦ ax³ geht, die 2 nach links und zwei nach unten verschoben wurde.
Hallo,
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
Du brauchst vier Bedingungen.
Achtung:
Da ganzrationale Funktionen dritten Grades immer punktsymmetrisch zum Wendepunkt sind, ist die Bedingung f(-4)=6 äquivalent zu f(0)=-10. Daher habe ich sie durch f'(-2)=0 ersetzt.
f(0)= -10 --> d=-10 ✓
f(-2)= -2 = -8a+4b-2c-10
f'(-2)=0 = 12a-4b+c
f“(-2)=0 = -12a+2b
-----
8=-8a+4b-2c
0=12a-4b+c
b=6a
-----
4=-4a+2b-c
0=12a-4b+c
b=6a
-----
Die ersten beiden addieren:
4=8a-2b
4=8a-12a=-4a --> a=-1
b=6a=-6
...
c=-12
d=-10
f(x)=-x³-6x²-12x-10
Wenn man die vorgegebene Lösung ausmultipliziert, erhält man den gleichen Term.
🤓
Auf die vorgegebene Lösung kommst du, indem du ein zweites Achsenkreuz so einzeichnest, dass der Wendepunkt in dem neuen Ursprung liegt.
Die neue Funktion g(x) verläuft dann punktsymmetrisch zum Ursprung und ist gegenüber f(x) verschoben.
g(x)=ax³+cx
g'(x)=3ax²+c
g'(0)=0 = c
g(2)=-8=a•8 --> a=-1
g(x)=-x³
Nun ist f(x)=g(x+2)-2, also
f(x)=-(x+2)³-2
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten die Funktionsgleichung eines Polynoms dritten Grades andhand des Graphen zu bestimmen.
Ich werde Ihnen zwei Verfahren vorstellen. Mit den einen Verfahren können Sie ohne Probleme ohne zu Rechnen die Gleichung aufstellen mit nur einen Punkt (lernt man noch in der Oberstufe) . Mit den anderen können Sie alle Funktionen so genau bestimmen wie möglich (lernt man in Leistungskurs Mathematik oder in Mathematikstudium).
ScheitelpunktformVielleicht erinnern Sie sich noch an die Scheitelpunktform bei quadratischen Funktionen (Parabeln und so...): f(x)=(x+b)²+c
Diese konnten wir an Scheitelpunkt der Gleichung bestimen.
Ist der Scheitelpunkt der Funktion "S(b|c)", so war die Funktionsgleichung zur Funktion "f(x)=(x-b)²+c".
Das gleiche gilt auch für kubikische Funktionen, bloß das dort der Exponent der Klammer 3 ist und nicht 2.
Also müssen wir den Scheitelpunkt bestimmen. Diesen können wir über Ableitungen berechnen wenn wir die Funktion haben oder auch einfach ablesen.
Hier hat der Scheitelpunkt die Koordinaten S(b|d) mit S(-2|-2)
und da hier "f(x)=(x-b)³+c" gilt können wir das einfach einsetzen:
f_{1}(x)=(x-b)³+c
f_{1}(x)=(x-(-2))³+(-2)
f_{1}(x)=(x+2)³-2
Dann schauen wir uns den Globalverlauf des Graphen an (aka den Limes von f(x) mit x->inf und x->-inf)... Wir sehen, dass er von links oben nach unten rechts geht, also muss der Leitkoefizien negativ sein. Dieses negative packen wir vor die Klammer und dann haben wir unsere süße Funktion:
f(x)=(-1)*(x+2)³-2
f(x)=-(x+2)³-2
:3
Polynominterpolation
(Sie können Ihre beforzuge Polynominterpolationsvariante benutzen. Ich zeige nur meine Lieblings Variante (Lagrange Interpolation), doch die Schritte bleiben sowieso für alle gleich.)
1) Sie Schaun sich den Grad Ihres Polynoms an (hier 3).
2) Sie lesen so einen Punkt ihrer Funktion in Graphen mehr ab wie die Grad des Polynoms lautet (hier 4).
3) Einsetzen und zusammenfssen.
1) Grad 3.
2) 3 Punkte... Ich nehme P_{1}(-3|-1), P_{2}(-1|-3), S(-2|-2) und y-N(0|-10), doch es ist egal welche Punkte Ihrer Funktion Sie nehmen...
3) Mit der Macht meines Combputers und eines Online-Rechners:
Zusammengefasst: f(x)=I(x)=-x3-6x2-12x-10 | *(-1) (müssen Sie nicht machen, doch das macht den nächsten Schritt einfacher)
-f(x)=x3-6x2-12x-10 | geklammere...
-f(x)=(x+2)³-2 | *(-1)
Zusammengefasst: f(x)=-(x+2)³-2
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.
Bei weiteren Fragen stehen ich Ihnen natürlich zur Verfügng.^^
