Für welche a element R gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse?
Für welche a element R gibt es mehr als einen Schnittpunkt mit der x-Achse? fa(x)=(a-1)/3 *x^3 - ax
wie bekomme ich dies heraus? lg Sophie
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Schnittpunkte mit der x-Achse sind gerade die Nullstellen.
Gesucht sind also die Lösungen in x von (a-1)/3 x^3 - a x für die verschiedenen a.
1. x ausklammern - x = 0 ist immer eine Nullstelle; es bleibt übrig:
(a-1)/3 x^2 - a = 0
2. den Rest nach x auflösen:
x = ± √( 3 a / (a-1) )
Ob dies reelle Lösungen hat, hängt vom Vorzeichen des Radikanden (Term unter der Wurzel) ab:
( 3 a / (a-1) ) < 0: keine weitere (reelle) Nullstelle
( 3 a / (a-1) ) = 0: genau eine weitere Nullstelle; dies ist aber eine doppelte Nullstelle, also eine Stelle, wo der Graph die x-Achse von einer Seite berührt, und ob man das als Schnittpunkt bezeichnet, hängt von der genauen Definition von "Schnittpunkt" ab
( 3 a / (a-1) ) > 0: zwei verschiedene reelle Nullstellen
Jetzt sind noch die Null- und Polstellen in a von 3 a / (a-1) zu untersuchen, sowie die Vorzeichen in den Bereichen dazwischen und links und rechts davon
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/7_nmmslarge.png?v=1438863662000)
Stimmt, mit der ursprünglichen Nullstelle muss man hinterher immer noch vergleichen. (Dafür war ich zugegebenermaßen zu faul, das sollte der Fragesteller selbst tun.)
Für a=0 hat die Funktion bei x=0 sogar eine dreifache Nullstelle.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Schachpapa/1456653634658_nmmslarge__116_32_432_432_d36a6a6d62721271685e85017f4dbcb0.jpg?v=1456653637000)
PWolff hat schon geschrieben, welche Formel die Nullstelle(n) angibt:
x = ± √( 3 a / (a-1) )
3a/(a-1) ist = 0 wenn a = 0, dann gibt es genau ein Nullstelle nämlich x=0
3a/(a-1) ist größer Null, wenn Zähler und Nenner das gleiche Vorzeihen haben, also wenn
1.) a > 0 und a-1 > 0 also wenn a > 1 oder
2.) a < 0 und a-1 < 0 also wenn a < 0
Dann gibt es insgesamt 3 Nullstellen, die x=0 (vom Ausklammern)
und x=± √( 3 a / (a-1) )
3a/(a-1) ist kleiner Null, wenn Zähle und Nenner verschiedene Vorzeichen haben, also wenn
1.) a>0 und a-1 <0 d.h. 0<a<1 oder
2.) a<0 und a-1>0 (das geht nicht gleichzeitig)
Dann gibt es nur die Nullstelle bei x=0 (vom Ausklammern), weil man aus negativen Zahlen keine reellen Wurzeln ziehen kann.
Wenn a=1 ist, ist die Funktion f(x) = -x die hat eine Nullstelle bei x=0
Zusammengefasst (Antwort auf die eigentliche Frage fett)
a < 0 drei Nullstellen
0 <= a <= 1 eine Nullstelle
a > 1 drei Nullstellen
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Kleine Ergänzung: für a = 1 ist die Funktion nicht definiert. (Also überhaupt keine Nullstelle - und damit auch nicht mehr als eine)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Schachpapa/1456653634658_nmmslarge__116_32_432_432_d36a6a6d62721271685e85017f4dbcb0.jpg?v=1456653637000)
Die Lösungsformel x = ± √( 3 a / (a-1) ) ist für a=1 nicht definiert, weil man nicht durch 0 teilen kann.
Die Funktion wird bei a=1 zu f(x) = 0*x^3 - 1 * x = -x
Es ist dann keine Funktion dritten Grades mehr und man benötigt die Lösungsformel nicht. Sie hat genau eine Nullstelle.
Nützt uns aber nix (wegen Punkt 1. deiner Antwort).