Frage zur lösung eines Mathe Rätsels?

Ich bin nicht so gut in Mathe und habe ein Rätel auf bekommen, das genau meine Schwachstelle beinhaltet, hat jemand vllt eine lösung oder ist gut in Mathe ?

In 15 Jahren ist mein Sohn so alt wie ich war als ich 8 Mal so alt war wie er. Wenn er so alt ist wie ich heute bin vorausgesetzt ich lebe dann noch wird die Summe seines und meines Alters das 31fache seines Alters sein als ich 8 Mal so alt war wie er

Wie alt sind Vater und Sohn heute?

Gesucht wird eine 4 stellige zahl die aus zwei 2 stelligen zusammen gesetzt wurde

Danke für jede oder Antwort 🙃

Answer 1

[mihisu]

Sei v das heutige Alter des Vaters in Jahren.
Sei s das heutige Alter des Sohns in Jahren.

[...] wie ich [der Vater] war als ich 8 Mal so alt war wie er [der Sohn].

Vor x Jahren war der Vater 8-mal so alt wie der Sohn...

$\left(v-x\right)=8\cdot \left(s-x\right)$

Wenn er [der Sohn] so alt ist wie ich [der Vater] heute bin [...]

In y Jahren ist der Sohn so alt wie der Vater heute...

$\left(s+y\right)=v$

Damit hat man ein paar Variablen eingeführt, mit denen man nun weitere Gleichungen aufstellen kann.

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In 15 Jahren ist mein Sohn so alt wie ich war als ich 8 Mal so alt war wie er.

In 15 Jahren ist der Sohn so alt, wie der Vater vor x Jahren.

$s+15=v-x$

Wenn er so alt ist wie ich heute bin vorausgesetzt ich lebe dann noch wird die Summe seines und meines Alters das 31fache seines Alters sein als ich 8 Mal so alt war wie er

In y Jahren ist die Summe des Alters des Sohnes und des Alters des Vaters gleich dem 31-fachen des Alters des Sohnes vor x Jahren.

$\left(s+y\right)+\left(v+y\right)=31\cdot \left(s - x\right)$

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Man hat nun insgesamt vier Gleichungen und vier Unbekannte. Dementsprechend hat man ein Gleichungsystem, welches man nun lösen kann...

$\begin{cases}v-x=8\cdot \left(s-x\right) \\ s+y = v \\ s + 15 = v - x \\ s + y + v + y = 31\cdot \left(s-x\right)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v-x=8s-8x \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ s + v + 2y = 31s-31x\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v-\left(v-s-15\right)=8s-8\cdot \left(v-s-15\right) \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ s + v + 2\cdot \left(v - s\right) = 31s-31\cdot \left(v-s-15\right)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v-v+s+15=8s-8v+8s+120 \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ s + v + 2v - 2s = 31s-31v+31s+465\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}s+15=16s-8v+120 \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ 3v - s = 62s-31v+465\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}8v=15s+105 \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ 34v = 63s+465\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v=\frac{15}{8}s+\frac{105}{8} \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ 34\cdot\left(\frac{15}{8} s + \frac{105}{8}\right) = 63s+465\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v=\frac{15}{8}s+\frac{105}{8} \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ \frac{255}{4} s + \frac{1785}{4} = 63s+465\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v=\frac{15}{8}s+\frac{105}{8} \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ \frac{3}{4} s= \frac{75}{4}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v=\frac{15}{8}\cdot 25+\frac{105}{8} \\ y = v - s \\ x = v-s-15 \\ s= 25\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v=60 \\ y = 60 - 25 \\ x = 60-25-15 \\ s= 25\end{cases}$

$\Leftrightarrow \quad \begin{cases}v=60 \\ y = 35 \\ x = 20 \\ s= 25\end{cases}$

Ergebnis: Der Vater ist heute 60 Jahre alt. Der Sohn ist heute 25 Jahre alt.