Frage zu Folge wächst höchstens so schnell wie?

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Was ich hier nicht kapiere, ich sage es muss ein C geben, wofür das gilt.

Wenn ich jetzt einfach zwei Folgen habe a_n und b_n und a_n wächst schneller als b_n, aber ich wähle jetzt als C einfach 10000000000000000000000

und b_n*C ist das wahrscheinlich größer als der Betrag von a_n, deshalb wächst doch b_n nicht schneller?

2 Antworten

Quotenbanane

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

18.04.2022, 00:56

Die Idee ist, dass wenn a_n "viel schneller" wächst als b_n, dass immer ein n geben wird, sodass a_n > C*b_n für alle C.

Wenn a_n allerdings nur höchstens so schnell wächst wie b_n, gibt es eben ein C, sodass a_n < C*b_n.

Z.B. gilt für f(x) = x + 10 und g(x) = x auch, dass f(x) > g(x) für alle x. Man kann aber ein C finden (z.B. C = 2), sodass f(x) < 2*g(x) für n > 11.

Wäre f(x) = e^x und g(x) = x würdest du zum Beispiel kein C finden.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

oij83

Beitragsersteller

18.04.2022, 00:59

Aber was heißt schneller wächst? Wenn ich z. B. habe dass mein a_n gegen 1 konvergirt, aber extrem schnell, dagegen kovnergiert b_n sehr langsam, aber gegen 10, dann ist doch b_n größter, obwohl a_n langsamer konvergiert?

Quotenbanane

18.04.2022, 02:04

@oij83

Aber was heißt schneller wächst?

Wenn du kein C findest, sodass die obige Ungleichung erfüllt ist.

Wenn ich z. B. habe dass mein a_n gegen 1 konvergirt, aber extrem schnell, dagegen kovnergiert b_n sehr langsam, aber gegen 10, dann ist doch b_n größter, obwohl a_n langsamer konvergiert?

Mit Konvergenzgeschwindigkeit hat das alles jetzt noch nichts zu tun. Du sollst das "Langzeitverhalten" der Folgen für große n untersuchen. Konvergierende Folgen sind da eher langweilig, weil die haben eigentlich immer O(1), weil sie beschränkt sind.

Jangler13

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

18.04.2022, 01:36

Wenn ich jetzt einfach zwei Folgen habe a_n und b_n und a_n wächst schneller als b_n, aber ich wähle jetzt als C einfach 10000000000000000000000

und b_n*C ist das wahrscheinlich größer als der Betrag von a_n, deshalb wächst doch b_n nicht schneller?

Negiere Mal die Aussage:

Für alle C>0 und N aus N existiert ein n >=N sodass |a_n| > C|b_n|

Wenn also a_n schneller wächst als b_n, (also wächst a_n nicht höchstens so schnell wie b_n) ist es nicht möglich ein C und ein N zu finden sodass die Definition erfüllt ist. Da bringt es auch nichts, C riesig zu wählen, |a_n| wird trotzdem irgendwann größer.

Ein Einfaches Beispiel:

a_n = n

b_n = 1 für alle n

Dann wirst kein C und kein N finden, sodass

|a_n| <= C*|b_n| für alle n>= N gilt.

oij83

Beitragsersteller

18.04.2022, 02:14

Das stimmt. aber wie kann ich das bei konvergierenden Folgen anwenden? WEnn ich eine Folge habe die gegen 1 kovnergeirt aber extrem schnell und dann eine Folge die gegen 10 konvergiert, jedoch sehr langsam, so find eich ein C für b_n, obwohl b_n langsamer wächst?

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Sei Epsilon > 0 beliebig.

|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| =
|2 / (3*3n+10)| = |2 / (9n+10)|

Okay ich habe erstmal a_n - 1/3 vereinfacht. Dann wollen wir ja, dass |a_n - 1/3| kleiner ist als Epsilon, also

    2 / (9n+10) < Epsilon        | * (9n+10)
<-> 2 < Epsilon * (9n+10)        |Klammern auflösen
<-> 2 < 9*n*Epsilon + 10*Epsilon |-10*Epsilon
<-> 2-10*Epsilon < 9*n*Epsilon   |:9*Epsilon
<-> (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) < n

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Sei N die Zahl (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1 aufgerundet zur nächsten natürlichen Zahl. Sei Epsilon > 0 beliebig.

N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1. Sei n >= N beliebig. Dann ist n >= N >= (2-10*Epsilon) / (9*Epsilon) + 1, also n > (2 - 10*Epsilon)/(9*Epsilon).

Hier bin ich wieder verwirrt, ich habe das so gemacht wie im Skript aber ist hier nicht auch ein Fehler?

    n > (2-10Epsilon) / 9Epsilon | *9Epsilon
<-> n*9Epsilon > 2-10Epsilon     | +10Epsilon
<-> n*9Epsilon*10Epsilon > 2     | Epsilon ausklammern
<-> (9n+10)Epsilon > 2           | :(9n+10)
<-> Epsilon > 2/(9n+10)

So jetzt schaue ich mir |a_n - 1/3| an.

|a_n - 1/3| = |(n+4) / (3n+10) - 1/3| = |2 / (3*(3n+10))| = |2 / (9n + 30)|

daraus folgt:

|a_n - 1/3| < Epsiolon. Also ich glaube hier sind ein paar Sachen schief gelaufen. Auch wenn es eigentlich stimmen sollte, dass |a_n - 1/3| < Epsilon gilt.

So damit habe ich gezeigt, dass der Grenzwert 1/3 ist. Aus der vorherigen Aufgabe weiß ich, dass das kleinstmögliche n 19 ist. Das habe ich dann eingesetzt und gezeigt, dass |a_19 - 1/3| < 0,01 ist. Weil es gegen 1/3 konvergiert, wird der Abstand dann nur geringer habe ich mir gedacht. Wo sind hier meine Fehler? Was könnte ich besser machen?

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Die Aufgabe zwingt einen jedoch dazu, sowohl O und dann Ω zu zeigen

Ich müsste also log2n! durch (n log2 n) teilen und zeigen, dass es gegen unendlich geht, um O zu zeigen. Aber dann müsste man auch zeigen, dass es gegen 0 geht. Der Ansatz funktioniert also nicht.

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