Fixvektor herausfinden?
Hallo zusammen,
in meiner Aufgabe werden verschiedene Handytarife angeboten.
Das Wechselverhalten lässt sich so beschreiben:
0,2 0 0,2 0
0,1 0,9 0 0,1
0,6 0,1 0,8 0,6
0,1 0 0 0,3
Nun soll ich einen Anfangsbestand von Kunden bestimmen, der nach einem Monat unverändert ist und die Langzeitentwicklung dieses Bestandes beschreiben.
Wenn ein Bestand nach einem Wechselverhalten gleich bleibt, brauche ich den Fixvektor. Also gilt: Ax=x
Daraus folgt:
0,2a + 0,2c = a
0,1a + 0,9b + 0,1d =b
0,6a + 0,1b + 0,8c + 0,6d =c
0,1a + 0,3d =d
Jetzt jeweils a,b,c,d abziehen:
-0,8a + 0,2c =0
0,1a - 0,1b + 0,1d =0
0,6a + 0,1b - 0,2c +0,6d =0
0,1a - 0,7d =0
Jetzt habe ich ganz oft das LGS gemacht und komme doch immer auf ganz komische Zahlen und weiß auch nicht wirklich, wie ich da jetzt weiter machen soll.
Zudem war in der Aufgabe davor gegeben, dass in einer Stadt der Anfangsbestand
2000
8000
30000
5000 besteht. Ich weiß aber nicht, ob das hier von Bedeutung ist, oder, ob man dies auch ohne lösen kann.
Kann mir das jemand erklären und weiterhelfen?
3 Antworten
Ax = x
=> x = 0 ........... die triviale Lösung
für Nichttriviale Lösung:
Alle Eigenvektoren brauchst natürlich nicht ausrechnen...
ist dir klar dass Ax=x linear abhängig ist, das heißt, dass das Ergebnis eine Variable enthalten wird?
die Impikation "=>" bedeutet ja nicht, dass nicht noch anderes impliziert wird
"dann gilt Ax=x für alle Vektoren.", ja, eben auch für den Nullvektor
Ich weiss nicht, ob ich Deine Frage richtig verstehe, aber die Matrix, die Du angegeben hast hat vier verschiedene Eigenwerte (=Nullstellen des charakteristischen Polynoms, welches in Deinem Fall ch(x)= x^4 - 11/5*x^3 + 151/100*x^2 - 83/250*x + 11/500 ist). Einer der Eigenwerte ist tatsächlich 1, d.h. es gibt einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor x so dass Ax=x gilt. Dieser Vektor ist in Deinem Fall x= (1, 8/7, 4, 1/7). Wie @Melvissimo schon sagte, kann man einen beliebigen Faktor daran multiplizieren und bekommt einen weiteren Eigenvektor (mit Eigenwert 1). Also z.b. 7x=(7,8,28,1) wäre einer (denn anscheinend brauchst Du ja eine ganzzahlige Antwort).
vier verschiedene Eigenwerte (=Nullstellen des charakteristischen Polynoms, welches in Deinem Fall ch(x)= x^4 - 11/5*x^3 + 151/100*x^2 - 83/250*x + 11/500 ist).
Erst einmal danke für die Antworten,
ich verstehe nicht ganz wie du auf diese Gleichung kommst und wie man jetzt auf den Vektor gekommen ist. Ich vermute mal die Formel umstellen, quasi
( A - den Eigenvektor ) * (a,b,c,d) = 0 ?
Mir ist nicht klar, wie viel Du von Matrizenrechnung weißt, daher verweise ich hier lieber auf Wikipedia. Aber man kann Dein Problem auch elementar lösen, nämlich wenn Du jede Zeile Deines ersten Gleichungssystems mit 10 multipliziert erhältst Du ein äquivalentes(=gleichwertiges) System der Form:
2a + 2c = 10a
a + 9b + d =10b
6a + b + 8c + 6d =10c
a + 3d =10d
Aus der letzten Gleichung erhältst Du a = 7d.
Die erste Gleichung nach c aufgelöst heißt c=4a und wenn man dann a durch 7d ersetzt erhält man c=28d.
Löst man die zweite Gleichung nach b auf, so erhält man b=a+d und durch Einsetzen von a=7d bekommst Du b=8d.
Fehlt nur noch die dritte Gleichung in der wir jetzt alle Werte a,b,c in Abhängigkeit von d einsetzen und sehen, dass sie immer richtig ist, denn
6a+b+8c+6d = 42d+8d+224d+6d = 280d = 10x28d = 10c
Damit ist Dein Lösungsvektor (a,b,c,d) = (7d, 8d, 28d, d) = d ( 7, 8, 28, 1), wobei d eine beliebige Zahl sein kann.
Vergiss nicht, dass du dein Ergebnis mit jedem beliebigen Skalar multiplizieren kannst: Ist Ax = x, so ist auch A(ax) = a(Ax) = ax für jedes Skalar a. Deine "komischen Zahlen" sind vielleicht alle rational, sodass du sie mit dem Hauptnenner multiplizieren kannst und ganzzahlige Ergebnisse herauskommen.
Wolframalpha jedenfalls liefert mir einen Lösungsvektor mit positiven ganzzahligen Einträgen.
Aus Ax=x folgt nicht notwendigerweise x=0. Stell Dir vor A ist die Identitätsmatrix, also 1 auf der Diagonale und 0 in den anderen Einträgen, dann gilt Ax=x für alle Vektoren.