Extremwertaufgabe?
Eine Lampe mit der Lichtstärke I befindet sich in einer Höhe h über dem Punkt A auf einem Tisch. Auf dem Tisch liegt ein Buch, das möglichst gut beleuchtet werden soll. Die Beleuchtungsstärke E in einem Punkt P des Buches im Abstand a = 50cm von A beträgt E=I*(sinφ/r^2) Bestimme die optimale Lampenhöhe
Wie berechne ich das (Die Lösung sollte 35cm sein)
1 Antwort
Hier ein Bild der Situation: die Lampe hängt bei C, das Buch liegt bei B, der Winkel φ entspricht α.
Es gilt E = I*sin(α)/r²
Die Beleuchtungsstärke E ist proportional zu sin(α)/r². Es reicht also, nur
(i) sin(α)/r²
zu analysieren. Es gilt:
r*sin(α) = h --> sin(α) = h/r
(i) (h/r)/r² = h / r³
Weiter gilt:
r = sqrt(h² + a²) = sqrt(h² + 50²)
(i) h / sqrt(h² + 2500)³
Jetzt von der Funktion f(h) = h / sqrt(h² + 2500)³ das Maximum suchen.
Weil f'(h) ziemlich unhandlich wird, sucht man stattdessen das Maximum von
g(h) = ln( f(h) ) = ln(h) - 3/2*ln(h²+2500)
Das ist möglich, denn ln(x) ist streng monoton steigend, und f(h) > 0 für h > 0
g'(h) = 1/h - 3*h/(h²+2500)
g'(h) = (2500-2h²)/(h³+2500h)
g'(h) wird 0, wenn 2500 - 2h² = 0
Das gilt für h = +- 25*sqrt(2) ~ 35.355
sin(α)/r²: sin(α) wird durch h/r ersetzt; (h/r)/r²; dieser Doppelbruch lässt sich zu h/r³ vereinfachen.
Achja eine Frage hätt ich doch noch und zwar wie kommt man auf das Verhältnis (i) (h/r)/r² = h / r³ ?