Exponentielles Wachstum, in welcher Zeit nimmt etwas um 25% zu?
Hallo, ich habe eine Aufgabe in Mathe die ich leider nicht verstehe.
Aufgabe: Die Bevölkerung eines Landes wächst pro Jahr 1,3%, bestimmen sie in welcher Zeit die Bevölkerung um 25% zunimmt?
Wie genau soll ich das mit einem Logarithmus rechnen?
Danke
1 Antwort
Um diese Aufgabe zu lösen, können wir das exponentielle Wachstumsmodell verwenden, das die Formel N = N0 * (1 + r)^t hat, wobei N die Bevölkerung zum Zeitpunkt t ist, N0 die ursprüngliche Bevölkerung ist, r die Wachstumsrate pro Zeitperiode ist und t die Zeitperiode ist.
In diesem Fall beträgt die Wachstumsrate r 1,3% pro Jahr, was als Dezimalzahl 0,013 entspricht. Wir möchten die Zeitperiode t finden, in der die Bevölkerung um 25% zunimmt. Das bedeutet, dass N = 1,25 * N0 ist.
Substituieren wir nun die gegebenen Werte in die exponentielle Wachstumsformel:
1,25 * N0 = N0 * (1 + 0,013)^t
Kürzen wir N0, dann erhalten wir:
1,25 = (1,013)^t
Nun müssen wir t isolieren, indem wir den Logarithmus auf beiden Seiten anwenden. Hier können wir den natürlichen Logarithmus verwenden:
ln(1,25) = ln(1,013)^t
Anwenden der Potenzregel des Logarithmus:
ln(1,25) = t * ln(1,013)
Lösen wir nun nach t auf:
t = ln(1,25) / ln(1,013)
Verwenden wir einen Taschenrechner, um dies auszurechnen, erhalten wir:
t ≈ 53,3 Jahre
Das bedeutet, dass es etwa 53,3 Jahre dauert, bis die Bevölkerung um 25% zunimmt, wenn sie jährlich um 1,3% wächst.
Hallo, ja das tut meiner auch. Man muss doch log(1,25)/log(1,013) rechnen?
Mit freundlichen Grüßen
Ja, und das ergibt 17,3.
(Das weiß sogar Google.)
Dass 53,3 Jahre nicht stimmen können, sieht man ohnehin auf den ersten Blick. Denn wenn die Zahl jährlich um mehr als 1% steigt, kann es nicht 53 Jahre dauern, bis sie um 25% gestiegen ist.
Ja lost. Da hab ich mich verhauen. Danke fürs aufmerksam machen und sorry für die falsche Antwort
Ich befürchte, dieser Taschenrechner hat falsch gerechnet. Ich komme auf 17,3 Jahre.