Ergibt 5a mal 3a=15a?

Nö.
5a+3a=a*(5+3)=8a

5a*3a=5*a*3*a
=5*3*a*a
=(5*3)*(a*a)
=15*a^2

Einfach weil a+a=2a und a*a=a^2

simple potenzregeln, nur dass da anstatt einer zahl eben a steht

Am Anfang gibt es da immer Verständnisprobleme beim Rechnen mit allgemeinen Zahlen.

2a + 3a  = 5a

2a * 3a  =  6a²

Am besten: du siehst erst mal a wie eine Benennung an.

Wenn du 2 m gehst und dann 3 m, wirst du automatisch sagen, du seist
5 m gegangen.

Wenn du aber eine Wand streichst, die 2m hoch und 3 m breit ist, wirst du
für 6 m² Farbe kaufen gehen.
Du kannst sie vor dir sehen: es sind 6 Felder von je 1 m².

Du merkst: bei a funktioniert es genauso.
Und daran kann man sich gewöhnen.
Beim Multiplizieren müssen alle Faktoren multipliziert werden.

Deshalb dann auch      2a * 3b = 6ab

5a*3a = 5*a*3*a = 15*a*a = 15*a^2 = 15a^2

Nein. Deine Lösung ist falsch. Du musst dir das so vorstellen:

5a x 3a bedeutet so viel wie 5 x 3 (sind 15) und a x a, was dann a hoch 2. Zusammen ergibt das dann also 15 a hoch 2. Wenn du es wirklich mathematisch korrekt aussprechen willst, kannst du auch anstatt 15 a hoch 2 einfach 15 a Quadrat sagen. Geht beides :D

Schreibe das mal "ausführlich":
5*a*3*a
und sortiere es dann:
5*3*a*aFällt Dir was auf?