Eine Todesspirale hat einen Radius von 5m. Welche Geschwindigkeit muss ein Wagen haben im höchsten Punkt, damit er nicht runter fällt? Physik Aufgaben ?

Die zweite Frage wäre, aus welcher Höhe der Wagen mindestens starten müsste, um den Looping zu schaffen. Dabei ist zur Kontrolle die Höhe von 12,5m gegeben.

Wenn jemand eine Idee hat, bitte schreiben. Ich bin gerade wirklich am verzweifeln

Answer 1

[mihisu]

Also eine "Todesspirale" kenne ich nur vom Eiskunstlaufen. Das scheint aber nicht viel mit der Aufgabenstellung zu tun zu haben.

Ich denke mal, dass es sich um einen Looping handelt, wie beispielsweise bei vielen Achterbahnen. Wobei Achterbahnen ja genügend Sicherheitsmaßnahmen haben, um ein Runterfallen des Wagens auch bein zu niedriger Geschwindigkeit zu verhindern. Die Wägen sind üblicherweise entsprechend mit der Schiene verbunden, dass sowas nicht passiert.

Ich gehe also mal von einem Looping aus, bei dem der Wagen nicht entsprechend mit dem Fahruntergrund verbunden ist und daher runterfallen könnte. Außerdem gehe ich davon aus, dass der Wagen ohne Roll- oder Luftwiderstand fahren kann. Außerdem gehe ich davon aus, dass der Wagen keinen eigenen Antrieb nutzt, sondern nur die Energie, die der Wagen aufgrund seiner Lage im Gravitationsfeld der Erde hat.

[Ein Bild bzw. eine Skizze wäre hier wohl hilfreich gewesen, um die Situation klarer zu beschreiben.]

============

Betrachte die Situation am höchsten Punkt des Loopings:

Der Betrag der Zentripetalbeschleunigung a[Z] für eine Kreisbahn hängt folgendermaßen mit der Bahngeschwindigkeit v und dem Radius r zusammen:

$a_{\text{Z}}=\frac{v^2}{r}$

Aufgrund des Schwerefelds der Erde wirkt eine Fallbeschleunigung mit Betrag g = 9,81 m/s² nach unten. Ist diese Fallbeschleunigung größer als die Zentripetalbeschleunigung a[Z] verlässt der Wagen die Kreisbahn nach unten, fällt also herunter. (Ist die Fallbeschleunigung kleiner als die Zentripetalbeschleunigung, so ist dies hier kein Problem, da durch Gegendruck von der Fahrbahn die restliche Beschleunigung nach unten hinzukommt.)

Damit der Wagen also im höchsten Punkt nicht herunterfällt muss am höchsten Punkt gelten:

$a_{\text{Z}}\ge g\ \ \rightarrow\ \ \frac{v^2}{r}\ge g\ \ \rightarrow\ \ v^2\ge r\cdot g\ \ \rightarrow\ \ v\ge\sqrt{r\cdot g}$

Wegen

$\sqrt{r\cdot g}=\sqrt{5\ \text{m}\cdot9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\approx7\ \frac{\text{m}}{\text{s}}\$

muss der Wagen am höchten Punkt eine Geschwindigkeit von mindestens 7 m/s haben, um nicht herunterzufallen.

============

Für die Frage nach der Höhe, muss zunächst einmal eine Bezugsebene festgelegt werden, bzgl. der man die Höhe misst. Ich gehe mal davon aus, dass die Höhe bzgl. der Erdoberfläche gemessen werden soll und der höchste Punkt des Loopings sich 10 m über der Erdoberfläche befindet. Berücksichtigt man die Lageenergie im Schwerefeld der Erde und die kinetische Energie des Wagens, so benötigt der Wagen am höchten Punkt des Loopings eine Energie von mindestens

$E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}=m\cdot g\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_1^2$

Dabei sei m die Masse des Wagens, g = 9,81 m/s² die Fallbeschleunigung nahe der Erdoberfläche, h[1] = 10 m die Höhe am höchsten Punkt des Loopings, v[1] = 7 m/s die zuvor berechnete Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings.

Analog erhält man für die Energie am Startpunkt:

$E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}=m\cdot g\cdot h_0+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_0^2$

Dabei sei h[0] die Starthöhe und v[0] die Startgeschwindigkeit. Ich gehe mal davon aus, dass v[0] = 0 sein soll, so dass sich die Startenergie zu m ⋅ g ⋅ h[0] vereinfacht. Wegen Energieerhaltung erhält man dann für den Grenzfall, dass der Wagen gerade so nicht herunterfällt:

$m\cdot g\cdot h_0=m\cdot g\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot m\cdot v_1^2$

Auflösen nach h[0], indem man durch m ⋅ g dividiert, liefert:

$h_0=h_1+\frac{v_1^2}{2\cdot g}$

Setzt man nun v[1] = √(r ⋅ g) aus vorheriger Rechnung ein, erhält man:

$h_0=h_1+\frac{\left(\sqrt{r\cdot g}\right)^2}{2\cdot g}=h_1+\frac{r\cdot g}{2\cdot g}=h_1+\frac{r}{2}$

Setzt man schließlich h[1] = 10 m und r = 5 m ein, erhält man für die Mindeststarthöhe:

$h_0=10\ \text{m}+\frac{5\ \text{m}}{2}=12,5\ \text{m}\$

Answer 2

[PWolff]

Im höchsten Punkt muss die Geschwindigkeit mindestens so groß sein, dass die Fliehkraft die Gravitationskraft kompensiert, bzw. dass die Gravitationskraft volkständig für die Zentripetalkraft für die Kreisbewegung "verbraucht" wird.

Zentripetalkraft (in Abhängigkeit von Radius und Geschwindigkeit):

F_z = m * v^2 / r

Gravitationskraft:

F_G = m * g

Ungleichung:

F_z >= F_G

Die nötige Höhe berechnet man in solchen Aufgaben am einfachsten über den Energiesatz.

Am Startpunkt hat der Wagen nur Lage- aber keine Bewegungsenergie, d. h.

E_start = E_pot_start + E_kin_start

mit

E_pot_start = m * g * h_start

E_kin_start = 0

Am obersten Punkt der Schleife hat der Wagen die Energie

E_schleife = E_pot_schleife + E_kin_schleife

mit

E_pot_schleife = m * g * h_schleife

E_kin_schleife = 1/2 * m * v_schleife^2

Energiesatz:

E_start = E_schleife

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium, Hobby, gebe Nachhilfe