Eine Matheaufgabe die mich zum Verzweifeln bringt..(erde..umfang..orange..ameise..)
Um den Äquator legt man eine Schnur. DIe ist gespannt. DAnn verlängert man die Schnur um einen Meter. Parallel dazu: Man hat eine Ornge(Umfang ca. 20cm). Man legt auch da eine Schnur rum, wie bei der erde und verlängert sie auch um einen Meter. Die Frage ist: Wo könnte eine ameise leichter durchkrabbeln? Also praktisch: Wie viel steht die Schnur von der Erde ab wenn man sie um einen Meter verlängert. Wie rechnet man das?
13 Antworten
Es gilt:
U = 2 * pi * R
<=> R = U / (2 * pi)
.
und:
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Uneu = 2 * pi * Rneu
<=> Rneu = Uneu / ( 2 * pi)
.
Für die gesuchte Differenz der beiden Radien Rneu und R gilt also offenbar:
Rneu - R = Uneu / ( 2 * pi) - U / ( 2 * pi)
= (Uneu - U) / 2 * pi
.
Die Differenz zwischen neuem und altem Radius ist daher unabhängig von dem Radius selbst, sondern ausschließlich von der Differenz des neuen Umfanges und des alten Umfanges.
Es ist daher egal, ob man ein Seil um den Erdäquator oder um eine Orange um einen Meter verlängert - Es hebt sich in jedem Falle um
(Uneu - U) / (2 * pi)
also um
1 / (2 * pi)
Meter, also knapp 16 Zentimeter von der Erde bzw. der Orange ab.
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Eine schöne Aufgabe zur Demonstration der Grenzen der Vorstellungskraft :-)
Machen wir es doch mal umgekehrt:
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Gegeben sei eine Kugel mit Radius R
Dann gilt für ihren Umfang:
U = 2 * pi * R
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Erhöht man nun den Radius um X , dann gilt:
Uneu = 2 * pi * (R + X)
.
Für die Differenz zwischen dem neuen und dem bisherigen Umfang gilt dann:
(Uneu - U) = 2 * pi * (R + X) - 2 * pi * R
= 2 * pi * R + 2 * pi * X - 2 * pi * R
= 2 * pi * X
.
Auch hier ist schön zu erkennen, dass der Unterschied der beiden Umfänge überhaupt nicht von R sondern nur davon abhängt, um wieviel R verändert wird.
Rein mathematisch:
Umfang Äquator = 4 007 501 700cm
Radius = halber Durchmesser = (4 007 501 700cm / pi) / 2 = 637 813 705cm
verlängert um 1m gleich 100cm:
Umfang Äquator = 4 007 501 800cm
Radius = halber Durchmesser = (4 007 501 700cm / pi) / 2 = 637 813 721cm
Differenz = 15,9154943cm
Umfang Orange = 20cm
Radius = halber Durchmesser = (20cm / pi) / 2 = 3,18309886cm
verlängert um 1m gleich 100cm:
Umfang Orange = 120cm
Radius = halber Durchmesser = (120cm / pi) / 2 = 19,0985932cm
Differenz = 15,9154943cm
Irgendwann wird man vielleicht herausbekommen, wo hier der Fehler liegt. ☻
Wieso Fehler, ist doch richtig. Aber kann ja auch gar nicht anders sein, weil man ja jedesmal 100 cm (1 m) durch 2 durch Pi als Differenz hat, egal wie gross der Durchmesser vorher war.
Es ändert sich prozentual.
Der Kreisumfang U ist definiert als U = 2 x pi x r. Wenn der Umfang 1m betragen soll, dann muss der Radius r offenbar gleich 1 / (2 x pi) Meter sein (r = 0,15915...m). Wann immer du den Umfang eines Kreises also um 1m verlängern willst, musst du seinen Radius um die angegebene Strecke verlängern. Dabei ist die Größe des Kreises unerheblich.
der abstand ist immer gleich, weil in beiden fällen gleich gerechnet wird - U=D+1*pi (D=Durchmesser)
ok, stimmt zwar, dass der Unterschied immer gleich ist müsste es nicht heißen: D = (U + 1)/pi
Mit der Formel für einen Kreisumfang.
U = 2 * pi * r
U = Umfang
r = Radius
pi = 3,141
Stimmt so nicht. Was du geschrieben hast, stimmt, wenn der Durchmesser um einen Meter vergrößert wird.
Aber sie schreibt doch, dass der Umfang um einen Meter verlängert wird (die Schnur).
Dann wäre der Umfang bei der Orange 0,20 m + 1 m = 1,20 m.
Dabei fällt der Meter wohl mehr auf, als beim Umfang der Erde, oder?