Ein Kanal soll einen Querschnitt von A = 12 m² haben. Wegen des Materialaufwandes und aus Reibungsgründen wird der kleinstmögliche benetzte Umfang gefordert?
Wie ist der Querschnitt zu dimensionieren, wenn die Form eines auf der Spitze stehenden oben offenen gleichschenkeligen Dreiecks haben soll?
Bitte um Hilfe, bin am verzweifeln:/
1 Antwort
auch hier das Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke aufteilen
Fläche vom rechtwinkligen Dreieck A=1/2*a*b mit A=12 m²/2=6 m²
1) s²=(a/2)²+h² → Satz des Pythagoras c²=a²+b²
2) A=6 m²=1/2*(a/2)*h
aus 2) 6=a/4*h → h=6*4/a=24/a → h²=24²/a² in 1)
s²(a)=a²/4+24²/a²
eine Kurvendiskussion durchführen
(s²(a))´=0=.... spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´v²
prüfen auf Maximum oder Minimum
(s²(a)´´=..
Den Rest schaffst du selber.
Hier brauchst du keine Kurvendiskussion machen,weil das Flächenmaximum des rechtwinkligen Dreiecks bei Amax=1/2*c² liegt
Die Formel muß man sich vorher durch eine Extremwertaufgabe herleiten
1) A=1/2*a*b
2) a=c*cos(a)
3) b=c*sin(a)
2) u. 3) in 1)
A=1/2*c*cos(a)*c*sin(a)=1/2*c²*cos(a)*sin(a)
Mathe-Formelbuch trigonometrische Funktionen
sin(a)*cos(b)=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)] mit (a)=(b)
sin(a)*cos(a)=1/2*[sin(a-a)+sin(a+a)=1/2*[0+sin(2*a)]
sin(a)*cos(a)=1/2*sin(2*a)
A(a)=1/2*c²*1/2*sin(2*a)=1/4*c²*sin(2*a) kann maximal sein,wenn sin(2*a)=1
sin(2*45°)=sin(90°)=1
also A(max)=1/4*c² und Winkel (a)=45° und Winkel (b)=45° bei´m rechtwinkligen Dreieck
Bedeutet:Die Fläche ist ein Maximum,wenn die Seitenlänge des rechtwinkligen Dreiecks gegeben ist.
dann als auch "minimaler Seitenumfang" bei maximal mögliche Fläche des rechtwinkligen Dreiecks.
Hab mir die Aufgabe mal in Ruhe durchgerechnet.
Maximale Fläche vom rechtwinkligen Dreieck Amax=1/4*c² mit (a)=45° und (b)=45°
hier Amax=12 m¹2/2=6 m
6=1/4*c²
Betrag |c|=Wurzel(6*4)=4,8989 c²=a²+b² wenn (a)=45° a=b
c²=a²+a²=2*a²
Betrag |a|=W(c²/2)=c/W(2)=4,8989 m/W(2)=3,4640 m
A=1/2*a*b=1/2*3,464 m*3,464 m=6 m²
Proberechnung: a=4 m A=6 m²=1/2*4 m*b → b=6*2/4=3 m
c=W(4²+3²)=5 m>4,8989 m
Mach weitere Proberechnungen,ob auch wirklich s=c=4,8989 m ein Minimum ist.
Wie mache ich hier die Kurvendiskussion?