Eckpunkte einer Schnittfläche?
Kann jemand bitte bei i) helfen?
Die Seitenfläche BCD_k liegt in der Ebene mit der Gleichung x+y+(4/k)z=4
Für k gilt ]0;8]
Hat D_k die Koordinaten (0 | 0 | k) ?
ja
2 Antworten
Die beiden Sonderfälle für k = 0 (BCD durch den Punkt A) und k = 6 (BCD durch den Punkt Q) lassen wir weg, weil keine echte Schnittfläche am Quader entsteht.
Lässt man den Winkel von BCD von 0 Grad aus ansteigen, werden 4 Seiten des Quaders geschnitten. Diese Schnittflächen haben deshalb 4 Eckpunkte, bis einschließlich zum Punkt A' = (0,0,3) An dieser Stelle ist k = 3.
Steigt der Winkel von BCD weiter an, werden 5 Seiten des Quaders geschnitten (der Deckel kommt hinzu). Diese Schnittflächen haben deshalb 5 Eckpunkte, bis ausschließlich zu den Punkten PR. An dieser Stelle ist k = 4.
Steigt der Winkel von BCD weiter an, werden 3 Seiten des Quaders geschnitten (die beiden hinteren Seiten fallen weg). Diese Schnittflächen haben deshalb 3 Eckpunkte, bis ausschließlich zum Punkt Q. An dieser Stelle ist k = 6.
Folgendes Bild soll das verdeutlichen:
Rein rechnerisch kommt man zu dieser Lösung, indem man die Ebenengleichungen der 5 Seiten des Quaders:
x=1 (Seite PQ)
y=1 (Seite QR)
y=0 (Seite PA)
x=0 (Seite RA)
z=3 (Deckel)
mit der Ebene BCD x + y + 4/k*z = 4 gleichsetzt. Mit der Bedingung 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 3 findet man dann ein passendes k (oder auch nicht).
Beispiel: Schnitt zwischen x=1 und BCD:
1 + y + 4/k*z = 4
Wegen 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 3 folgt 0 <= k <= 6.
Die Seite PQ hat mit BCD nur für 0 <= k <= 6 eine Schnittgerade. Aus der Anzahl der möglichen Schnittgeraden folgt die gleiche Anzahl an Eckpunkten.
Nimm z.B. drei Zuckerwürfel und schneide diese mit einem kleinen Sägemesser durch, genauso wie im Bild der Antwort zu sehen. Dann hast Du die Eckpunkte direkt vor Augen.
also ich würde sagen, für 3<k<6 wäre es ein 3-Eck... jeweils „echt kleiner“...
und für k<=3 wäre es ein 4-Eck...
oder?
Danke für deine Antwort, ich kann es aber immer noch nicht richtig nachvollziehen…