Dreiphasennetzaufgabe?
Wie geh ich bei der c) vor ?
3 Antworten
Aufgabe a)
Wende hier das Maschenstromverfahren an. Wähle die Maschen wie folgt:
M1: U1 -> Z12 -> Z23 -> U3 -> U1 (Strom I1)
M2: U2 -> Z23 -> U3 -> -> U2 (Strom I2)
M3: Z13 -> Z23 -> Z12 -> Z13 (Strom I3)
Durch die spezielle Wahl von M1, M2 und M3 gilt, dass der Maschenstrom I1 hier mit dem Strom I1 = IL1 aus dem ESB übereinstimmt, sowie IL2 = I2. Via "Brute Force" erhalten wir aus den Maschen- und Knotengleichungen:
(i) I1 = (2*U13 - U23)/Z
(ii) I2 = (2*U23 - U13)/Z
mit Ukm = Uk - Um. Wobei Z12 = Z23 = Z13 = Z. Die fetten Größen sind komplexe Größen. Wir erhalten somit für |Z| = Z:
(i) --> Z = |(2*U13 - U23)|/I1 = 3*U1/I1 = 959.1 Ohm (iii)
Ferner können wir mit (i) und (ii) die entsprechenden Scheinleistung für die Zweige bestimmen, welche durch die Watt-Meter überwacht werden. Es gilt:
(iv) P1 = Re{ S1 } = Re{ U13*conj(I1) } = (1.5*R + 0.5*sqrt(3)*wL)*(U13^2)/Z²
(v) P2 = Re{ S2 } = Re{ U23*conj(I2) } = (1.5*R - 0.5*sqrt(3)*wL)*(U23^2)/Z²
wobei für die induktive Last Z = R + j*wL gilt. Durch geschickte Addition bzw. Subtraktion von (iv) und (v) voneinander erhalten wir:
(iv) + (v) ----> (vi) P1 + P2 = 3*R*(U23^2)/Z²
(iv) - (v) ----> (vii) P1 - P2 = sqrt(3)*wL*(U23^2)/Z²
Aus (vi), (vii) und (iii) können wir dann R und wL von Z berechnen. Es folgt:
(viii) R = (P1 + P2)*Z²/(3*U23^2)
(ix) wL = (P1 - P2)*Z²/(sqrt(3)*U23^2)
und zusätzlich gilt für das Verhältnis wL/R = tan(Phi) = sqrt(3)*(P1 - P2)/(P1 + P2).
Aufgabe b)
Die gesamte von der Last verbrauchte Scheinleistung folgt direkt aus Summe der Scheinleistungen der einzelnen Zweige zu
SLast = 3*(U12^2)/(R - jwL) = 3*(U12^2)*(R + jwL)/(R² + (wL)²)
Damit folgt die von der Last verbrauchte Scheinleistung zu
QLast = Im{ SLast } = 3*(U12^2)*wL/(R² + (wL)²)
Wähle als Kompensationselemente Kondensatoren, da diese Scheinleistung bereitsstellen (negative Scheinleistung verbrauchen). Die zugehörige Impedanz ist
Zc = 1/(jwC)
Die "verbrauchte" Blindleistung des Kompensators berechnet sich damit zu
Qc = (-3)*U1²*wC
Aus der geforderten Bedingung Qc + QLast = 0 erhalten wir damit durch Umformen
wC = QLast/(3*U1²)
Beachte, dass Pc = 0, da die Kondensatoren nur Blindleistung aufnehmen und damit
Sc = j*Qc
gilt.
Aufgabe c)
Wie in b) bereits erwähnt gilt Pc = 0. Damit folgt in der Leistungsbilanz
Pges = PLast + Pc = PLast (da Pc = 0 nach unserem Design in b))
Qges = Qc + QLast = 0 (da wir das in b) so designed haben)
Schließlich folgt für PLast hier:
PLast = 3*(U12^2)*R/Z²
Hiermit können wir die Außenleiterströme berechnen. Da lediglich Wirkleistung verbraucht wird (Qges = 0) müssen die Außenleiterströme jeweils die selbe Phasenlage wie die Leiterspannungen haben. Betragsmäßig folgt
Sges = 3*U1*IL1 = PLast
--> IL1 = PLast/(3*U1) = PLast/(sqrt(3)*U12)
Aufgrund der Symmetrie gilt IL1 = IL2 = IL3. Hinsichtlich der Phasenlage folgt entsprechend
arg(IL1) = arg(U1) = 0°
arg(IL2) = arg(U2) = -120°
arg(IL3) = arg(U3) = -240°
Aufgabe d)
Rechnerisch lassen sich die neuen Außenleiterströme direkt aus dem ESB bestimmen. Es folgt:
IL1' = U1/Zc + U12/Z
IL2' = U2/Zc + U23/Z + U21/Z
IL3' = U3/Zc + U32/Z
Ich habe es jetzt nochmal numerisch überprüft. Mit U1 = 230V, I = 1.39A --> Z = 496.4 Ohm (hier hatte ich fälschlicherweise 400V statt 230V eingetippt). Dies ist das selbe Ergebnis wie bei dir. Entsprechend erhält man mit R = (P1 + P2)*Z²/(3*U23^2) = 768W*(496.4 Ohm)^2/(3*(400V)^2) einen Widerstand von R = 394.26 Ohm und analog für L = (P1 - P2)*Z²/(w*sqrt(3)*U23^2) = (550W - 218W)*(496.4 Ohm)^2/(2pi*(400V)^2 * sqrt(3)) = 939,6 mH
Damit komme ich auf prinzipiell identische Ergebnisse wie du. Die geringfügigen Abweichung würde ich jetzt durch Rundungsfehler begründen.
Ich hätte die Nerven nicht gehabt, das mit Kirchhoff zu rechnen. Symmetrische Last ist immer einfach. Für asymmetrische Lasten verwende ich immer symmetrische Komponenten, auch wenn das hier ein Overkill wäre.
Schöne Aufgabe. Habe mir die Antworten der anderen nicht durchgelesen. Deswegen nur als ergänzend auffassen. Ich wäre folgendermaßen rangegangen:
mit
und
b) Blindleistung der Dreiecksschaltung = Blindleistung der Sternschaltung
Für die Kapazitäten die jeweilige Strangblindleistung der Sternschaltung ermitteln.
mit
c) Ideale Kompensation = Keine Blindleistung mehr
Da die Blindleistung kompensiert wird, heben sich die Blindströme bei der Messung auf. Es bleibt nur noch der Wirkstrom.
d)
Hinweise zum Zeichnen.
Wenn Z31 entfernt wird, aber das Kompensationsnetzwerk gleichbleibt, gibt es nun eine kapazitive Überkompensation. Die reinen Blindströme durch die Kapazitäten bzw. Zk1 etc. bleiben unverändert. D.h. die Blindleistung ist in Summe nicht mehr 0, entsprechend sind auch die Blindströme nicht mehr Null.
Der vom Amperemeter gemessene Strom verringert sich um Faktor Wurzel 3 (Gilt für I1 und I3).
Schöne Aufgabe.
😀
finde ich auch: Einmal zur Abwechslung eine, wo man bissl nachdenken muss. Anfangs war ich komplett konzeptlos, aber dann habe ich realisiert, dass die Gesamtleistung aufgrund des nicht vorhandenen Neutralleiters einfach P1+P2 ist. Dann ging's schnell. Im Nachhinein eh klar, aber nicht auf Anhieb intuitiv, denn ich hätte zunächst fälschlicherweise gedacht, dass beide Wattmeter das selbe anzeigen müssten.🤣
Die gesamte Wirkleistung (unkompensiert) ist einmal aufgrund des fehlenden Neutralleiters
Gleichzeitig ist das
Hier ist alles bekannt ausser cos(phi), also
Die Last ist somit betragsmäßig
Daraus folgt für die Lastwiderstände über den Winkel:
Die Gesamte Blindleistung ist
Wenn du diese Blindleistung durch drei Kondensatoren kompensierst, bist du fertig. Dieser Schritt ist trivial und von poseidon42 beschrieben (auch wenn er für die Last was anderes rausbekommt). Ich komme auf
Die Außenleiterströme der kompensierten Gesamtanordnung sind daher nun wegen Q=0
d) ist bloß Zeichnen
Mit LTSpice ergibt das genau die angegebenen Messwerte, was die Rechnung bestätigt:
Unkompensiert:
Kompensiert:
man sieht es passt
und die Außenleiterströme:
![- (Studium, Elektrotechnik, Drehstrom)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/557466508/0_big.png?v=1723702310000)
![- (Studium, Elektrotechnik, Drehstrom)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/557466508/1_big.png?v=1723702310000)
![- (Studium, Elektrotechnik, Drehstrom)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/557466508/2_big.png?v=1723702310000)
ich bekomme mit meiner Methode |Z|=496 V/A, R=397.49 Ohm und L=0,9464H.
Deins hab ich nicht nachgerechnet, aber mit der Simulation komme ich ganz genau auf die angegebenen Messwerte. Du kommst jedenfalls auf andere Werte 🤔