Definitionsbereich arccos Funktion?
Ich verstehe nicht wie man bei der Aufgabe f(x)=√(1+arccos(x)) auf den Definitionsbereich von (-1,1) kommt. Mein Ansatz war so. Das unter der Wurzel muss größer als 0 sein. Also stellt man die Funktion um:
1+arccos(x)>0
arccos(x)> -1 |cos
x>cos(-1)
3 Antworten
Der Arkuskosinus ist per se schon nur im (abgeschlossenen!) Intervall [-1, 1] definiert (weil das die Bildmenge der Kosinusfunktion ist). Dementsprechend ist die maximale Definitionsmenge von
die Definitionsmenge des Arkuskosinus geschnitten mit der Menge der reellen Zahlen größer/gleich -1 (damit die Wurzel definiert ist), genauer
Im Grunde genommen ist f ja einfach die Verkettung der Arkuskosinusfunktion mit der (verschobenen) Wurzelfunktion, dementsprechend ist der maximale Definitionsbereich auch einfach der Schnitt der maximalen Definitionsbereiche der beiden verketteten Funktionen (was nichts ändert, weil das Bild des Arkuskosinus ohnehin nur nicht-negative Zahlen enthält). Formaler:
Deine Umformungen stimmen bis auf die letzte (denn aus a > b folgt nicht i.Allg. auch cos a > cos b, das geht nur bei (strikt) isotonen bzw. injektiven Funktionen) und es müsste größer/gleich heißen (die Wurzel aus 0 ist definiert). Ab dem zweiten Schritt ist die Definitionsmenge einfach abzulesen, weil -1 ohnehin schon eine untere Schranke der Definitionsmenge des Arkuskosinus ist (d.h. alle Werte des Definitionsbereiches sind sowieso größer/gleich -1). So könnte man auch folgern
LG
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist so wie du es berechnen willst ein bisschen heikel, weil du die Zielmenge betrachtest, nicht die Bildmenge: Der Arkuskosinus nimmt nicht alle reellen Werte an, sondern nur Werte in [0, π], dementsprechend ist die Bildmenge von f [1, √(1+π)] (rechne es ruhig mal nach bzw. mach es dir am Graphen klar). Die maximale Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist hier zwar theoretisch IR, aber für die Umkehrfunktion macht es nur Sinn, als Definitionsmenge die Bildmenge (=Wertemenge) von f zu betrachten.
Das
Wenn ich von der Umkehrfunktion f^(-1)x= cos(x^2-1) den Definitionsbereich berechne bekomme ich doch den Wertebereich der Funktion f(x) heraus.
ist eben nicht im Allgemeinen so.
Die arccos-Funktion hat [0, π] als Bildmenge. Demnach ist die Wurzel kein Problem, da 1 + arccos(x) ≥ 0 für alle x aus dem Definitionsbereich von arccos(x) ist.
Allerdings hat die arccos-Funktion selbst nur [-1, 1] als Definitionsbereich, weshalb man für den maximalen Definitionsbereich D ⊆ ℝ der Funktion f dann auch D = [-1, 1] erhält.
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Übrigens:
Die cos-Funktion ist nicht auf ihrem gesamten Definitionsbereich injektiv. Daher ist das Anwenden der cos-Funktion keine Äquivalenzumformung.
arccos(x) > -1
ist hier nicht äquivalent zu
x > cos(-1).
Und außerdem muss man auch bei Ungleichungen darauf achten, dass das Relationszeichen nur so bleibt, wenn man eine streng monoton fallende Funktion anwendet. Wenn man eine Funktion anwendet, die im entsprechenden Bereich streng monoton fallend ist, dreht sich das Relationszeichen um.
Beispielsweise ist ja 0 < π aber cos(0) = 1 > -1 = cos(π) [und eben nicht cos(0) < cos(π)], was daran liegt, dass die cos-Funktion im Intervall [0, π] streng monoton fallend ist.
Für welchen Bereich ist den der arccos definiert? Und welche Werte werden im Definitionsbereich angenommen?
Die Antworten auf diese beiden Fragen dürften dich weiterbringen.
Danke, noch eine andere Frage dazu: Wenn ich von der Umkehrfunktion f^(-1)x= cos(x^2-1) den Definitionsbereich berechne bekomme ich doch den Wertebereich der Funktion f(x) heraus. Cos nimmt alle reellen zahlen an, also muss ich doch x^2 -1=0 setzen um den Definitionsbereich zu bestimmen oder?