Begründe sin(-x)=-sin x und cos(-x)=cos x?
Kann mir jemand erklären warum sin(-x)=-sin x und cos(-x)=cos x ist? Wäre echt nett
8 Antworten
Das liegt ganz einfach daran, dass die Kurve der Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und die Kurve der Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist. ;)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Sieh' dir dazu den Graphen der Sinusfunktion an.
sin(0) = 0, der Koordinatenursprung wird somit geschnitten
Links der y-Achse geht es zuerst in den negativen Bereich (III. Quadrant) und dann abwechselnd über und unter die x-Achse.
Rechts der y-Achse geht es zuerst in den positiven Bereich (I. Quadrant) und dann abwechselnd über und unter die x-Achse.
Wenn ein Objekt punktsymmetrisch zu einem bestimmten Bezugspunkt ist, kann man den rechten Teil auch horizontal und vertikal spiegeln, um den Teil links des Bezugspunktes zu erhalten.
Das gleiche kannst du an der Sinusfunktion sehen. Spiegle gedanklich den Teil rechts der y-Achse an beiden Koordinatenachsen, dann erhältst du den Teil links der y-Achse.
Daraus folgt logisch, dass sin(-x) = -sin(x).
Betrachte zur Verdeutlichung den Graphen und sieh' dir die Punkte (-π/2 | -1) und (π/2 | 1) an.
LG Willibergi
Das geht ganz einfach mit der Reihenentwicklung von Sinus und Kosinus (schau auf Wikipedia nach, falls du die nicht kennst).
Die Sinus-Reihe hat nur ungerade (x^1, x^3, x^5,...) Potenzen, somit ergibt sich durch einsetzen von -x: (-x)^1=-x, (-x)^3=-x^3,... Das Minus bleibt also immer erhalten und man kanns vor die Summe ziehen.
Die Reihe vom Kosinus hat nur gerade Potenzen. Hier verschwindet das Minus: (-x)^2=x^2, (-x)^4=x^4,... Also ist man am Ende wieder beim normalen Kosinus.
Für den Beweis dieser Eigenschaft ist vor allem wichtig, auf welche Definitionen von sin und cos man sich dabei stützen soll. Dies ist nämlich auf recht unterschiedliche Arten möglich.
Hallo!
Die Frage lässt sich beliebig genau beantworten, hier gebe ich einen Beweis für komplexe z. Also insbesondere für reelle z.
Zuerst einmal gilt per definitionem:
- sin(z) := 1/2i * (e^(iz) - e^(-iz))
- und cos(z) := 1/2 * (e^(iz) + e^(-iz))
Betrachte nun die Gleichungskette:
sin(z) = 1/2i * (e^(iz) - e^(-iz)) = 1/2i * (-1) * (-e^(iz) + e^(-iz)) = -1/2i * (e^(-zi) - e^(-(-z)i)) = -sin(-z)
Daraus folgt dann -sin(z) = sin(-z)
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Ähnlich für den Cosinus:
cos(z) = 1/2 * (e^(iz) + e^(-iz)) = 1/2 * (e^(-iz) + e^(iz)) = 1/2 * (e^(-iz) + e^(-(-z)i)) = cos(-z)
q. e. d.
LG girlyglitzer <3
Ich werde α statt x verwenden, weil ich im Bild α vewendet habe.
Es ist schon richtig, die Reihendarstellungen sind
(1) sin(α) = α – α³/3! + α⁵/5! – α⁷/7! +…
(2) cos(α) = 1 – α²/2! + α⁴/4! – α⁶/6! +…,
also, die Sinusfunktion ist ungerade, was man daran sieht, dass er nur aus ungeraden, der Cosinus ist gerade, was man daran sieht, dass er nur aus geraden Potenzen von α besteht.
Ursprünglich wollte ich fast schreiben »weil« statt »was man daran sieht, dass« zu schreiben, aber Letzteres ist eigentlich nicht »Ursache« von Ersterem, jedenfalls nicht, wenn man (1) und (2) nicht als Definitionen, sondern als Reihenentwicklung versteht.
Die ursprüngliche Definition des Sinus ist der Zeichnung zu entnehmen. Ist α der Winkel zur +x-Achse, so sieht man, dass der x-Achsenabschnitt cos(α) in dieselbe Richtung geht, egal, ob der Winkel im oder gegen den Urzeigersinn ist.
Der y-Achsenabschnitt sin(α) hingegen geht im ersten Fall nach oben und im im zweiten Fall nach unten.
Kannst du mir erklären, wie man dann diese Eigenschaft erhält, also dass sin(-x)= -sin x ist?