Ableitung?

Hallo, ich bin wieder mal bei Mathematik, und möchte wissen ob meine Lösung zu untenstehender Aufgabe die richtige ist. Ist sie falsch, werde ich meine Herleitung senden um den Fehler zu finden.

Besten Dank im Voraus.

Die Aufgabe ist auf englisch und bei Bedarf würde ich sie auf Deutsch übersetzen.

"The force wich acts on a pendulum bob to restore it to its equilibrium position is given by $F=-mg\sinθ$ where mis the mass of the bob, g is the acceleration of gravity and θ is the angle between the string and the vertical. For a bob of 10g, find the approximate difference in the force for angles of 3,0° and 3,1° if g is 980cm/s^2"

Ich komme zu folgendem Ergebnis: Δ F = -0,0001 N.

Answer 1

[mihisu]

$\Delta F=F_2-F_1$

$=-m\cdot g\cdot \sin\left(\theta_2\right)-\left(-m\cdot g\cdot \sin\left(\theta_2\right)\right)$

$=-m\cdot g\cdot \sin\left(\theta_2\right)+m\cdot g\cdot \sin\left(\theta_1\right)$

$=m\cdot g\cdot \sin\left(\theta_1\right)-m\cdot g\cdot \sin\left(\theta_2\right)$

$=m\cdot g\cdot \left(\sin\left(\theta_1\right)-\sin\left(\theta_2\right)\right)$

$=10\,\text{g}\cdot 980\,\frac{\text{cm}}{\text{s}^2}\cdot \left(\sin\left(3\text{,}0\degree\right)-\sin\left(3\text{,}1\degree\right)\right)$

$=10\cdot {10}^{-3}\,\text{kg}\cdot 980\cdot 10^{-2}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot \left(\sin\left(3\text{,}0\degree\right)-\sin\left(3\text{,}1\degree\right)\right)$

$\approx -1\text{,}7\cdot {10}^{-4}\,\text{N}$

Ich komme also auf etwa -0,00017 N statt auf dein Ergebnis von -0,0001 N.

Zunächst einmal hast du also falsch gerundet. Wegen der nächsten Ziffer 7, müsste man 0,00017... zu 0,0002 aufrunden, statt zu 0,0001 abzurunden, wenn man auf eine signifikante Stelle runden möchte. Des Weiteren würde ich hier auf zwei signifikante Stellen runden, statt nur auf eine, da die Angaben jeweils zwei signifikante Stellen aufweisen (außer 980 cm/s² für g mit drei signifikanten Stellen, wobei man sich aber eher nach den ungenaueren Angaben richten sollte).

====== Ergänzung ======

$F=m\cdot g\cdot \sin\left(\theta\right)$

Für kleine Änderungen von θ kann man mit Hilfe der Ableitung folgendermaßen Näherungsweise berechnen...

$\Delta F\approx \frac{\text{d}F}{\text{d}\theta}\cdot \Delta \theta=-m\cdot g\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot \Delta \theta$

Also...

$\Delta F\approx -m\cdot g\cdot \cos\left(\theta_1\right)\cdot \overbrace{\left(\theta_2-\theta_1\right)}^{\Delta \theta}$

$\Delta F\approx -10\,\text{g}\cdot 980\,\frac{\text{cm}}{\text{s}^2}\cdot \cos\left(3\text{,}0\degree\right)\cdot \underbrace{\left(3\text{,}1\degree-3\text{,}0\degree\right)}_{=0\text{,}1\degree}$

$\Delta F\approx -10\cdot{10}^{-3}\,\text{kg}\cdot 980\cdot{10}^{-2}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot \cos\left(3\text{,}0\degree\right)\cdot \frac{0\text{,}1\degree}{180\degree}\cdot \pi$

$\Delta F\approx -1\text{,}7\cdot {10}^{-4}\,\text{N}$

Comments

[usmi49]

hallo mihisu und danke für deine Antwort.

Es sollte eine Beispielaufgabe zu Ableitung transzendenten Funktionen sein. (Obwohl dein Lösungsweg viel einfacher ist).

Ich habe natürlich dF/dθ gerechnet und bin auf cos 3° und cos 3,1° gekommen, daher mein Fehler. Das Buch schreibt zwar "find the approximate difference in force..." aber trozdem bin ich zu weit entfernt vom richtigen Ergebnis.

[mihisu]

@usmi49

Ich habe nun auch einen entsprechenden Rechenweg mit Näherung mit Hilfe der ersten Ableitung am Ende meiner Antwort ergänzt. [Natürlich komme ich da auch wieder auf den gleichen Wert.]

[usmi49]

@mihisu

Genau, ich habe das Δ θ vergessen! Alles klar jetzt.

[usmi49]

@usmi49

Aber das 0,1°/180° .π° habe ich noch nicht verstanden.

[mihisu]

@usmi49

Oh. Da habe ich versehentlich ein ° zu viel aufgeschrieben. Hinter dem π sollte kein Gradzeichen hinkommen, falls es das ist, was dich verwirrt hat.

Ansonsten: Sonst hast du ein Ergebnis im Gradmaß. Deswegen habe ich vom Bogenmaß ins Gradmaß umgerechnet, damit das „°“ veschwindet.

[usmi49]

@mihisu

Ich denke du wolltest schreiben "von Gradmass ins Bogenmass" ? Aber warum nicht in Grad lassen ? Das verstehe ich noch nicht ( obwohl ich weiss, dass dann das Ergebnis falsch ist).

[mihisu]

@usmi49

Ah ja. Einfach schon wieder zu spät für mich. Von Gradmaß in Bogenmaß meinte ich.

Warum? Naja... Ergibt hier die Einheit „°N“ Sinn, oder hättest du das Ergebnis lieber in „N“?

[usmi49]

@mihisu

Danke für deine Antwort, ja eigentlich klar, °N würde keinen Sinn ergeben.