4.92b?

Kann mir wer bitte weiterhelfen? Vielen Dank

Answer 1

[mihisu]

Es handelt sich offensichtlich um eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Diese kann man beispielsweise folgendermaßen lösen...

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Löse zunächst die entsprechende homogene Differentialgleichung...

$y_\text{h}''+2y_\text{h}'+10y_\text{h}=0$

Dazu kann man einen Exponentialansatz verwenden, also zunächst einmal das charakteristische Polynom

$\lambda^2+2\lambda+10$

und dessen Nullstellen

$\lambda_1=-1+3\text{i},\quad \lambda_2=-1-3\text{i}$

betrachten. Dementsprechend erhält man dann durch

$y_1(x)=\text{e}^{\left(-1+3\text{i}\right)x},\quad y_2(x)=\text{e}^{\left(-1-3\text{i}\right)x}$

ein Fundamentalsystem. Bzw. kann man auch

$\tilde{y}_1(x)=\text{e}^{-x}\cdot \cos(3x),\quad \tilde{y}_2(x)=\text{e}^{-x}\cdot \sin(3x)$

als ein entsprechendes reelles Fundamentalsystem angeben.

Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist demnach durch...

$y_\text{h}(x)=c_1\cdot \text{e}^{-x}\cdot \cos(3x)+c_2\cdot \text{e}^{-x}\cdot \sin(3x)$

gegeben.

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Nun braucht man noch eine spezielle Lösung (d.h. irgendeine Lösung) der inhomogenen Differentialgleichung. Dazu kann man mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite.

Siehe beispielsweise auch: https://homepages.thm.de/~hg8070/math2kmub06/dgl_ansaetze.pdf

Im konkreten Fall ist beispielsweise...

$y_\text{s}(x)=A\cdot \sin(2 x)+B\cdot \cos(2 x)$

mit

$y_\text{s}'(x)=2 A\cdot \cos(2 x)-2B\cdot \sin(2 x)$

$y_\text{s}''(x)=-4 A\cdot \sin(2 x)-4 B\cdot \cos(2 x)$

ein geeigneter Ansatz. Setzt man diesen Ansatz in die Differentialgleichung

$y''+2y'+10y=26\cdot \sin(2x)$

ein, erhält man...

$-4A\cdot \sin(2x)-4B\cdot \cos(2x)+2\cdot \left(2A\cdot \cos(2x)-2B\cdot \sin(2x)\right)+10\cdot \left(A\cdot \sin(2x)+B\cdot \cos(2x)\right)=26\cdot \sin(2x)$

$\Leftrightarrow\quad \left(-4A-4B+10A\right)\cdot \sin(2x)+\left(-4B+4A+10B\right)\cdot \cos(2x)=26\cdot \sin(2x)$

$\Leftrightarrow\quad \left(6A-4B\right)\cdot \sin(2x)+\left(4A+6B\right)\cdot \cos(2x)=26\cdot \sin(2x)$

$\Leftrightarrow\quad 6A-4B=26\ \text{ und }\ 4A+6B=0$

$\Leftrightarrow\quad 6A-4B=26\ \text{ und }\ A=-\frac{3}{2} B$

$\Leftrightarrow\quad 6\cdot \left(-\frac{3}{2}B\right)-4B=26\ \text{ und }\ A=-\frac{3}{2} B$

$\Leftrightarrow\quad -13B=26\ \text{ und }\ A=-\frac{3}{2} B$

$\Leftrightarrow\quad B=-2\ \text{ und }\ A=-\frac{3}{2} B$

$\Leftrightarrow\quad B=-2\ \text{ und }\ A=-\frac{3}{2} \cdot\left(-2\right)$

$\Leftrightarrow\quad B=-2\ \text{ und }\ A=3$

Dementsprechend ist durch

$y_\text{s}(x)=3\cdot \sin(2x)-2\cdot \cos(2x)$

eine spezielle Lösung der Differentialgleichung gegeben.

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Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist dann schließlich durch

$y(x)=y_\text{s}(x)+y_\text{h}(x)$

$y(x)=3\cdot \sin(2x)-2\cdot \cos(2x)+c_1\cdot \text{e}^{-x}\cdot \cos(3x)+c_2\cdot \text{e}^{-x}\cdot \sin(3x)$

gegeben.

Comments

[schueler599]

Vielen Dank! Könntest du mir bitte sagen wie ich zur partikulären Lösung bei c) komme?

[mihisu]

@schueler599

Ebenfalls mit „Ansatz vom Typ der rechten Seite“.

Allerdings hat man da die Ausnahmesituation, dass ±3i bereits Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind, bzw. sin(3x) und cos(3x) bereits bei der homogenen Lösung vorkommen. Deswegen muss man in diesem Ausnahmefall mit einem zusätzlichen Faktor x ansetzen. Ein geeigneter Ansatz ist in diesem Fall dann...

yₚ(x) = x ⋅ (A ⋅ sin(3x) + B ⋅ cos(3x))

Diesen Ansatz kannst du dann in die Differentialgleichung einsetzen, um die Parameter A und B zu bestimmen.