Hallo, ich habe diese Aufgabe, die ich lösen möchte:
- Gegeben sei ein Banachraum X. Für alle linearen stetigen Operatoren A, B aus L(x) definieren wir T_(A,B) als B(X) -> B(X) durch T_(A,B)(S) = ASB für alle S aus B(X) Zeigen Sie, dass aus der Kompaktheit von A und B auch die Kompaktheit von T_(A,B) folgt.
Ich habe außerdem dieses Lemma in meinem Skript:
- Sei T: X -> X ein kompakter linearer Operator und S: X -> X ein beschränkter linearer Operator auf dem normierten Vektorraum X. Dann sind TS und ST kompakt.
Nun dachte ich, dass ich dieses Lemma einfach zweimal anwenden kann: Also SB müsste laut dem Lemma kompakt sein, weil B kompakt ist und S beschränkt und dann wäre ASB auch kompakt, weil A und SB beide kompakt (und beschränkt) sind.
Falls diese Argumentation nicht stimmt, frage ich mich wieso und wie man die Aufgabe sonst lösen soll.