"Viel lieber" ist in diesem Satz eine adverbiale Bestimmung der Art und Weise. Es gibt zusätzliche Informationen darüber, wie die Familie übernachtet. "Viel lieber" gibt an, dass die Familie eine starke Vorliebe für das Übernachten in gemütlichen Privatunterkünften hat. Es gehört also zu den Umständen oder der Art und Weise, wie die Handlung ausgeführt wird.
(also ich glaube es, aber bin mir nicht 100% sicher. Also sorry, wenn es falsch wäre)