Also es handelt sich hierbei um zwei verschiedene Dinge.

Aussagenlogik ist ein Teilgebiet der Mathematik. Man versucht hier (logische) Aussagen mittels formaler Logiksymbole, Quantoren, etc. festzuhalten. Eine Basis mit der sich alle logischen Verknüpfungen realisieren lassen ist die Boolesche Basis (oft Standardbasis), welche UND, ODER und NICHT enthält.

Die aus dieser Basis resultierende Boolsche Ausdrucksalgebra ist eine Boolsche Algebra. Eine Boolsche Algebra ist an sich nur eine bestimmte algebaische Struktur. Die typischsten Vertreter sind die (boolsche) Ausdrucks- und Mengenalgebra.

Ein Byte besteht aus 8 Bit. Jedes Bit kann zwei Werte, nämlich entweder 0 oder 1 annehmen.

Damit ist 1 Byte = 8 Bit = 2^8 (=256) Möglichkeiten der Belegung.

Nun ist 1 KiByte = 1024 Byte = 1024*8 Bit = 2^(1024*8) Möglichkeiten der Belegung

Also es müssen zwei Fälle unterschieden werden:

1. sqrt(x) mit ganzzahligen, nicht negativen x. Dann ist die Wurzel tatsächlich genau dann irrational, wenn x keine Quadratzahl ist, also insbesondere kein Quadrat ganzer Zahlen.

2. sqrt(x) mit rationalen, nicht negativen x. Dann ist die Wurzel irrational wenn x kein Quadrat von rationalen Zahlen ist. sqrt(9/4) = 3/2 ist also rational.

Es geht darum herauszufinden für welche Werte x f(x) = (x+2)^4-4 definiert ist (Definitionsbereich) und welche Werte f(x) annehmen kann (Wertebereich).

Für die Funktion kann x jeden Wert annehmen. Der Definitionsbereich ist also ganz R.

Für den Wertebereich schauen wir uns die Funktion genauer an. (x+2)^4 kann keine negativen Werte annehmen. Es kann also nie kleiner als 0 werden. Für x = -2 ist (x+2)^4 = 0 minimal. f(x=-2) = -4 ist somit der kleinstmögliche Funktionswert.

Als Wertebereich erhalten wir also alle reellen Zahlen >= -4.

Es gilt:

• Die natürlichen Zahlen gehören zu den ganzen Zahlen
• Die ganzen Zahlen gehören zu den rationalen Zahlen
• Die rationalen (und irrationalen) Zahlen gehören zu den reellen Zahlen
• Die reellen Zahlen gehören zu den komplexen Zahlen

Die -5 gehört also zu den ganzen Zahlen und auch zu allen größeren Zahlenmengen (also rational, reell, komplex). Dies gilt für die anderen analog.

Zunächst bestimmen wir die erste Zahl:

1400 - 350 - 49 = 1001 ist durch 7 teilbar. Stellt sich die Frage, welche Zahl die letzte ist:

9800 + 140 + 56 = 9996 ist die letzte vierstellige Zahl, welche durch 7 teilbar ist. Insgesamt gibt es also:

(9996-1001)/7 + 1 = 8995/7 + 1 = 1285+1 = 1286 Zahlen, welche vierstellig sind und durch 7 teilbar.

Die erste Zahl ist 1001, dann 1001+7, 1001+2*7, ..... bis 1001+1285*7. Das lässt sich schreiben als 1286*1001+(7+2*7+...+1285*7) = 1286*1001 + 7*(1+2+3+...+1285). Nun benutzen wir den kleinen Gauß:

1+2+3+...+1285 = (1285^2 + 1285)/2 = 826255

Damit ist die Summe: 1286*1001+7*826225 = 1287286+5783785 = 7071071.

Zu a): Das ist korrekt.

Zu b): Du weißt, dass 30% aller Männer schnarchen und 10% aller Frauen, wobei man von gleich vielen Männern und Frauen als Grundlage ausgeht. Betrachten wir nun also mal 20 Personen (10 Männer und 10 Frauen). Dann sollte gelten:

3 Männer schnarchen
1 Frau schnarcht

Nun weißt du aber schon, dass im Zimmer neben dir jemand schnarcht. Das heißt du müsstest aus dieser exemplarischen Stichprobe nur die 4 schnarchenden Personen betrachten. Du weißt 3/4 = 75% dieser Personen sind männlich und nur 1/4 = 25% weiblich.

Beachte: Die 20 Personen sollten hier nur zur Erklärung dienen. Formal korrekt müsstest du immer in der Prozentrechnung bleiben. Dann wären 40% Schnarcher, 30% männliche Schnarcher und 10% weibliche Schnarcher. Also 30%/40% männlich und 10%/40% weiblich.

Nunja. Also zunächst einmal ist der Graph punktsymmetrisch zu (0,3). Wie du richtig festgestellt hast, geht er für x gegen -unendlich gegen -unendlich und analog für x gegen unendlich auch gegen unendlich.

Die 0.5 verlangsamen (bildlich gesprochen) das Wachstum. Dadurch wird der Graph in y-Richtung gestaucht.

Zum skizzieren empfiehlt es sich, die Nullstellen noch auszurechnen, sowie die Extremalstellen (Nullstellen der 1. Ableitung, etc.). Danach solltest du in der Lage sein die ermittelten Punkte zu einer Skizze des Graphen zu verbinden.

Sei X die Zufallsgröße für die zu zahlende Strafe. Dann ist P(X=40) = 1/10 und P(X=0) = 9/10. Also eine wunderbare Bernoulli-Verteilung. Zum Erwartungswert:

E(X) = 40*1/10 + 0*9/10 = 4

Damit würdest du beim Schwarzfahren erwartungsgemäß 4€ zahlen, womit es die teurere Option wäre.

Als Rechenregel kannst du dir merken: Potenzrechnung vor Punktrechnung vor Strichrechnung.

In deinem Fall rechnest du also zunächst (x-1)² aus und multiplizierst dann mit 2.

Bei y = 2(x-1)(x+3) ist die Reihenfolge, in der du die Faktoren verrechnest egal. Es ist schließlich ein einziges Produkt aus drei Faktoren, deren Reihenfolge du beliebig vertauschen darfst.

Hier empfiehlt es sich, der Reihe nach (also von links nach rechts) vorzugehen. Also wie folgt:

 y = 2(x-1)(x+3)
   = (2x-2)(x+3)
   = 2x²+4x-6

Ja, so ist es. Allgemeiner gehören alle Wurzeln aus nichtnegativen Zahlen zu den reellen Zahlen.

Also mal langsam.

Der Kern einer Matrix besteht genau dann nur aus dem Nullelement, wenn die Matrix (bzw. die zugehörige Abbildung) injektiv ist. Wir haben also insbesondere eine Matrix mit vollem Spaltenrang, d.h. Rang = Spaltenrang = Anzahl der Spalten.

Bijektivität kann es ohnehin nur bei quadratischen Matrizen geben, denn hier muss Rang = Anzahl der Zeilen = Anzahl der Spalten gelten. Kurz gesagt braucht die Matrix also vollen Rang.

Vollen Rang hat eine quadratische Matrix genau dann, wenn ihre Determinante von 0 verschieden ist. Dieser Zusammenhang ist meistens leicht zu prüfen und daher zum Nachweis zu empfehlen.

Nun gilt weiterhin Zeilenrang = Spaltenrang für jede Matrix über einem Körper K. Es würde also für quadratische Matrizen auch genügen zu zeigen, dass der Kern nur aus dem Nullelement besteht. Dies ist nämlich gleichbedeutend zu vollem Spaltenrang.

Der Herr hat zwei Möglichkeiten:

1. Er bezahlt bar und bekommt 2% Nachlass (Skonto). Dafür muss er jedoch sein Konto überziehen, was für ihn Kosten verursacht.
2. Er bezahlt nicht in bar, bekommt also keinen Nachlass. Dafür muss er sein Konto aber nicht überziehen und es entstehen dort keine Kosten für ihn.

Du sollst nun bestimmen, welche der beiden Varianten ihn zum Schluss weniger kostet.

Also wir suchen eine Funktion f(x) = a^(b*x) * c.

Zunächst bestimmen wir a, als eine Art Parameter für das Wachstum. Die Aufgabe gibt uns vor, dass sich die Anzahl verdoppelt. Also a = 2.

Gehen wir davon aus, dass x, die Anzahl der Stunden ist. Nun verdoppeln sich die Keime nicht jede Stunde, sondern jede halbe Stunde. Damit erhalten wir b = 2.

Weiterhin haben wir gegeben, dass f(0) = 700 gelten soll. f(0) = 1 * c. Also c = 700.

Somit haben wir alle Parameter bestimmt und kennen f(x).

Nun solltest du durch Umstellen das x bestimmen können, für welches f(x) = 1.000.000.000 gilt.

Dualzahlen können an jeder Stelle entweder eine 1 oder eine 0 haben. Bei drei Stellen ergeben sich damit 2*2*2 = 8 Möglichkeiten. Aufgeschrieben sind das:

• 000
• 001
• 010
• 011
• 100
• 101
• 110
• 111

Du hast ein gleichseitiges Dreieck, d.h. alle Seiten sind gleich lang. Sie haben die Länge s. Dementsprechend ist auch die Höhe des Dreiecks gemessen von der jeweiligen Seite an allen drei Seiten die Gleiche.

a) Sei h die Höhe (bzw. Länge der Höhe). Dann muss nach Pythagoras gelten: (s/2)² + h² = s². Nun sollst du h einfach in Abhängigkeit von s bestimmen, also diese Gleichung nach h umstellen.

b) Die Fläche ist A = 1/2*s*h. Wenn du also die Gleichung aus a) nach h umgestellt hast, musst du sie hier nur noch einsetzen.

Sowohl f1(x) als auch f2(x) sind stetige Funktionen. Die einzige Stelle, an denen es kritisch werden könnte, ist x=t. Du suchst also einen Wert t, der die Funktionen an dieser Stelle stetig verbindet, oder anders ausgedrückt:

Du suchst t mit f1(t) = f2(t).

Anschließend kannst du diese Gleichung dann nach t lösen.

Erstmal die gegebenen Informationen:

• f(x) = ax³ + bx
• f(1) = g(1) = 2,5
• f'(0) = - 1/g'(0) = -2

Diese Informationen erhalten wir aus dem Text. Aus der letzten Information kannst du b bestimmen und aus der zweiten dann a. Schließlich hast du dann die Gleichung der gesuchten Funktion.

Für den Median ordnest du alle Werte in aufsteigender Reihenfolge an. Am Beispiel:

Gegeben seien die Zahlen 1,10,12,14,15,17,12,11,10,40,32. Dann schreibst du dafür:

1,10,10,11,12,12,14,15,17,32,40

Der Median ist nun der mittlere dieser Werte, also im Beispiel (wir haben 11 Werte, wählen also den 6ten) die 12. Insbesondere sind Randwerte mit großen Abweichungen, wie die 1, 32 oder 40 hier nicht mehr so stark berücksichtigt.

Der Vorteil liegt also darin, dass hier keine Berechnung stattfindet. Dadurch fließen auch nicht alle Werte in das Ergebnis ein.

Die OneNote-Notizbücher liegen in der Microsoft-Cloud OneDrive. Diese ist nicht verschlüsselt, so dass hier ein hohes Sicherheitsrisiko besteht.

Nun gibt es zwar Möglichkeiten, den OneDrive Speicher mit einem verschlüsselten Part zu versehen, allerdings wird dadurch nicht das Notizbuch verschlüsselt.

Insgesamt ist es daher unratsam, vertrauliche oder wichtige Informationen in ein Cloud-basiertes Notizbuch einzupflegen.