Zahlen unter 2016 mit Quersumme von 7?
Wie viele ganze positive Zahlen unter 2016 haben eine Quersumme von 7?
Danke im Voraus? 😁
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Falls du nur die positiven meinst, wären das 66 Stück:
- 7
- 16
- 25
- 34
- 43
- 52
- 61
- 70
- 106
- 115
- 124
- 133
- 142
- 151
- 160
- 205
- 214
- 223
- 232
- 241
- 250
- 304
- 313
- 322
- 331
- 340
- 403
- 412
- 421
- 430
- 502
- 511
- 520
- 601
- 610
- 700
- 1006
- 1015
- 1024
- 1033
- 1042
- 1051
- 1060
- 1105
- 1114
- 1123
- 1132
- 1141
- 1150
- 1204
- 1213
- 1222
- 1231
- 1240
- 1303
- 1312
- 1321
- 1330
- 1402
- 1411
- 1420
- 1501
- 1510
- 1600
- 2005
- 2014
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ich habe ein Programm geschrieben, das alle Zahlen durchprobiert.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/JamesUloff/1715654910520_nmmslarge__0_713_1080_1080_af02f017fa66c9f46244426d8995e5f7.jpg?v=1715654911000)
Danke das du dir die Mühe gemacht hast.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/JamesUloff/1715654910520_nmmslarge__0_713_1080_1080_af02f017fa66c9f46244426d8995e5f7.jpg?v=1715654911000)
Hättest du auch einen anderen Lösungsweg. Wenn nicht ist auch nicht schlimm.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Von 0 bis 99 gibt es 8 Zahlen mit Quersumme 7. Von 100 bis 199 gibt es 7 Stück. Von 200 bis 299 gibt es 6 Stück etc. Daraus lässt sich eine Regel konstruieren:
N = (8 + … + 1) + (7 + … + 1) + 2 = (8·9/2) + (7·8/2) + 2 = 66
Die erste Klammer ist für 0…999, die zweite für 1000…1999, und das +2 ist für 2000…2016.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/JamesUloff/1715654910520_nmmslarge__0_713_1080_1080_af02f017fa66c9f46244426d8995e5f7.jpg?v=1715654911000)
Ich glaube, dass ist die Lösung. Ich mache den Beweis dann morgen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/13_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Einstellig gibt es immer nur eine Zahl.
Zweistellige gibt es so viele wie die Quersumme die man möchte. Bei 7 gibt es also 7 Zahlen.
Dreistellig gibt es so viele wie die Dreieckszahlen für n=Quersumme. Bei 7 sind es also 28.
Vierstellig gibt es die Summe der Dreieckszahlen bis zu Dreieckszahl für n=Quersumme. Bei 7 sind es also 84
Also in diesem Fall:
Einstellig 1
Zweistellig 7
Dreistellig 28
Ergibt bis hier 36.
Für Vierstellig brauchen wir nicht alle. Also können wir es zerlegen. Für jeden 1000-der steht eine Dreieckszahl. Also bei Vierstellig mit 1 am Anfang gibt es 28, mit 2 am Anfang 21, etc.
Also können wir hier 28 hinzuzählen und bekommen 64.
Nun fehlen noch die Vierstelligen mit 2 am Anfang und kleiner 2016. Können hier also nur 2005 und 2014 sein.
Ergibt gesamthaft 66 Zahlen.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/JamesUloff/1715654910520_nmmslarge__0_713_1080_1080_af02f017fa66c9f46244426d8995e5f7.jpg?v=1715654911000)
Das hört sich interessant an. Danke für die Antwort. Wissen sie warum das so ist?
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/13_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Kann keine mathematische Gesetzmässigkeit daraus formulieren. Aber wenn man nach Gauss und Quersummen recherchiert bin ich davon überzeugt, dass man etwas findet.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Halbrecht/1525443667546_nmmslarge__243_35_423_423_0f63963408c8ccb1dad80c34585c3099.jpg?v=1525443670000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 4 + 3 = 4 + 2 + 1 = 4 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2
Jetzt bilde alle entsprechenden Zahlen bis 2016, allenfalls mit Null ergänzt.
Vielen Dank😁. Was war dein Lösungsweg?