Wie verändern sich die Basiswechselmatrizen P und P^-1 wenn ich PDP^-1 = A habe und 2A ausrechnen möchte?
Im Folgenden haben wir A = PJP^-1 wie folgt:
Nun muss ich 2A ausrechnen. Die Lösung dazu:
Nun verstehe ich die Lösung nicht.
Wir sehen dass die Matrix A links *2 gerechnet wurde und die Diagonalmatrix ebenfalls *2 (da J=D+N, wurde nur das D *2 gerechnet). Nun stelle ich aber fast dass sich ebenfalls P und P^-1 verändert haben, nämlich bei P der 2. Spaltenvektor *2 und bei P^-1 der zweite Zeilenvektor /2. Wieso ist das so?
2 Antworten
Interessantes Problem - in meinem Kopf hat sich seit der Vorlesung Lineare Algebra I die (falsche) Vorstellung festgesetzt, dass die Basiswechsel-Matrizen dieselben bleiben, wenn man das skalare Vielfache einer Matrix auf Jordan-Normalform bringt anstatt der Matrix selbst. Das kann aber natürlich nicht sein, da die Jordanblöcke ja wieder Einsen oberhalb der Hauptdiagonalen enthalten. Ich denke mal, dass die Indizierung der Reihen- und Spaltenvektoren in den Basiswechselmatrizen, die mit dem Skalar oder seinem Inversen multipliziert werden müssen, von der Position (i, j) der jeweiligen 1 in der Jordanform abhängen. Schaue mir das später mal genauer an. Man lernt doch nie aus! :-)
Es wurde eine Jordan Normalform zu A erzeugt. Diejenige zu 2A ist nicht einfach das Doppelte davon, weil in der Nebendiagonalen der JNF Einsen stehen. Daher können die Transformationsmatrizen nicht die gleichen sein.
Ja das habe ich verstanden. Meine Frage aber nun: die eigenwerte haben sich ja aber offensichtlich verdoppelt. Das sehen wir in der neuen Jordannormalform. Und auch die Basiswechselmatrizen sind bis auf eine Spalte und eine Zeile identisch. Meine Frage nun: Gibt es eine allgemein gültige Regel wie sich P und P invers verändern wenn wir A mit einem Skalar multiplizieren? Wenn wir zB A potenzieten gibt es ja eine solche Regel nämlich A^k = PD^kP^-1