Wie muss man bei dieser Matheaufgabe vorgehen?

Hallo,

ich hab gerade das Thema Integralrechnung in der Q1. Wir hatten im Unterricht die exakte Berechnung von der Untersumme und Obersumme eines Graphen mit dem Grenzwert. Kann mir bitte jemand erklären, welche Termumformungen im ersten Bild gemacht wurden, um die Formeln zu erhalten und wie man bei der Aufgabe in zweiten Bild vorgehen muss?

Danke:)

Answer 1

[gauss58]

Umformung U_n:

zweite Zeile: Klammern auflösen

dritte Zeile: 1/n² ausklammern

vierte Zeile: Summenformel für Quadratzahlen nutzen n * (n + 1) * (2n + 1) / 6

fünfte Zeile: 1/n³ auf die einzelnen Faktoren verteilen

...

Answer 2

[evtldocha]

Beispiel Aufgabe 4a) f(x) = x + 1

Ich definiere zuerst die Intervallbreite für n und das Intervall [0;1] als:

$\Delta x\ :=\frac{\left(1-0\right)}{n}=\frac{1}{n}$

Dann ist die n-te Obersumme:

$O_n=\sum_{k=1}^n\Delta x\cdot f\left(k\cdot\Delta x\right)=\Delta x\cdot\left(\sum_{k=1}^n\left(k\cdot\Delta x+1\right)\right)=$ $\Delta x\cdot\left(\sum_{k=1}^nk\cdot\Delta x+\sum_{k=1}^n1\right)=\Delta x\cdot\left(\sum_{k=1}^nk\cdot\Delta x\right)+\Delta x\cdot\left(\sum_{k=1}^n1\right)=$ $\left(\Delta x\right)^2\cdot\left(\sum_{k=1}^nk\right)+\left(\Delta x\right)\cdot n\ =\left(\Delta x\right)^2\cdot\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+\Delta x\cdot n\$

Jetzt ersetze ich Δx wieder und erhalte:

$O_n=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}+\frac{1}{n}\cdot n\ =\ \frac{\left(n+1\right)}{2n}+1$

Als Grenzwert ergibt sich:

$\lim_{n\to\infty}O_n=\lim_{n\to\infty}\ \frac{n}{2n}+\frac{1}{2n}+1\ =\frac{1}{2}+0+1=\frac{3}{2}$

Die Untersumme ist dann

$U_n=\sum_{k=1}^n\Delta x\cdot f\left(\left(k-1\right)\cdot\Delta x\right)$

Danach geht es weiter wie oben (lediglich mit dem Index k muss man ein wenig jonglieren)