Wie löst man diese Physikaufgabe?

Question

Hallo, kann mir jemand bitte bei Aufgabe A7 unter die Arme greifen? Ich verstehe nicht wie man hier den Ausschlag berechnen soll, wäre schön wenn jemand mir hier helfen kann. Danke schonmal im Voraus!

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Hobbykobold · Answer

Hoffe du bekommst dafür eine 1+ mit Sternchen.

Erklärung:

Um den Ausschlag des Kügelchens in einem horizontalen elektrischen Feld zu berechnen, können wir die Kräfte betrachten, die auf das Kügelchen wirken. Hierbei handelt es sich um die Gravitationskraft \(\vec{F}_g\) und die elektrische Kraft \(\vec{F}_e\), die das elektrische Feld auf die Ladung ausübt. Da das Kügelchen im Gleichgewicht ist, bildet es mit dem Faden einen Winkel \(\theta\) gegenüber der Vertikalen, und der Faden bildet einen Ausschlag aus.

a) Berechnung des Ausschlags bei einer Ladung von 5,0 nC

1. Gegebene Werte:**

- Masse des Kügelchens: \(m = 0{,}4\, \text{g} = 0{,}4 \times 10^{-3}\, \text{kg}\)

- Ladung des Kügelchens: \(q = 5{,}0 \, \text{nC} = 5{,}0 \times 10^{-9}\, \text{C}\)

- Feldstärke: \(E = 70 \, \text{kN/C} = 70 \times 10^3 \, \text{N/C}\)

- Länge des Fadens: \(l = 1{,}0\, \text{m}\)

2. Kräfte im Gleichgewicht:**

- Gewichtskraft: \(\vec{F}_g = m \cdot g\), wobei \(g = 9{,}81 \, \text{m/s}^2\) ist.

- Elektrische Kraft: \(\vec{F}_e = q \cdot E\).

3. Berechnung der Kräfte:**

\[

F_g = m \cdot g = 0{,}4 \times 10^{-3} \, \text{kg} \times 9{,}81 \, \text{m/s}^2 = 3{,}924 \times 10^{-3} \, \text{N}

\]

\[

F_e = q \cdot E = 5{,}0 \times 10^{-9} \, \text{C} \times 70 \times 10^3 \, \text{N/C} = 3{,}5 \times 10^{-4} \, \text{N}

\]

4. Kräftegleichgewicht und Berechnung des Winkels \(\theta\):**

Im Gleichgewichtszustand gilt:

\[

\frac{F_e}{F_g} = \tan(\theta)

\]

Also:

\[

\tan(\theta) = \frac{3{,}5 \times 10^{-4}}{3{,}924 \times 10^{-3}} = 0{,}0892

\]

Daraus folgt:

\[

\theta = \arctan(0{,}0892) \approx 5{,}10^\circ

\]

5. Berechnung des Ausschlags \(s\):**

Der Ausschlag \(s\) ist die horizontale Verschiebung des Kügelchens, die durch den Winkel \(\theta\) gegeben ist:

\[

s = l \cdot \sin(\theta) \approx l \cdot \theta \quad (\text{für kleine Winkel})

\]

\[

s \approx 1{,}0\, \text{m} \cdot \sin(5{,}10^\circ) \approx 1{,}0\, \text{m} \cdot 0{,}089 \approx 0{,}089\, \text{m}

\]

b) Ausschlag bei doppelter Ladung:

Wenn die Ladung doppelt so groß ist (\(q' = 2 \times 5{,}0 \, \text{nC} = 10{,}0 \, \text{nC}\)), dann wird die elektrische Kraft ebenfalls doppelt so groß. Daher gilt:

\[

F'_e = 2 \cdot F_e

\]

Dies führt zu:

\[

\tan(\theta') = \frac{F'_e}{F_g} = 2 \cdot \tan(\theta)

\]

\[

\theta' = \arctan(2 \cdot 0{,}0892) \approx \arctan(0{,}1784) \approx 10{,}16^\circ

\]

Der neue Ausschlag beträgt:

\[

s' \approx 1{,}0\, \text{m} \cdot \sin(10{,}16^\circ) \approx 1{,}0\, \text{m} \cdot 0{,}176 \approx 0{,}176\, \text{m}

\]

c) Ausschlag bei einer 1000-mal größeren Ladung:

Wenn die Ladung 1000-mal so groß ist, also \(q'' = 1000 \times 5{,}0 \, \text{nC} = 5000 \, \text{nC} = 5{,}0 \times 10^{-6} \, \text{C}\), wird die elektrische Kraft ebenfalls 1000-mal so groß. Dies führt zu:

\[

\tan(\theta'') = 1000 \cdot \tan(\theta) \approx 1000 \cdot 0{,}0892 = 89{,}2

\]

Da \(\tan(\theta'')\) sehr groß ist, nähert sich der Winkel \(\theta''\) 90°. Das bedeutet, das Kügelchen würde fast horizontal ausgelenkt werden und der Faden wäre fast parallel zum elektrischen Feld.

Die Berechnungen für den Ausschlag funktionieren gut, solange \(\theta\) klein ist (also solange \(\tan(\theta)\) klein bleibt). Bei sehr großen Ladungen, bei denen der Winkel \(\theta\) groß wird, funktioniert die lineare Näherung nicht mehr und das Kügelchen würde fast horizontal hängen.

Wie löst man diese Physikaufgabe?

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