Wie löse ich diese Extremwertaufgabe?
Folgende Aufgabenstellung : Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wählen Sie die Maße dieses Rechtecks so, dass bei gegebenem Umfang U des Querschnitts des Kanals sein Flächeninhalt möglichst groß wird. Hatte bisher als Hauptbedingung : A= 1/2•pi•r^2+2r•h und als Nebenbedingung U=pi•r+2r+2h Ich scheitere komplett an der Umformung nach h und habe nun zehn Seiten mit Rechnungen, die alles ins Nirwana führen. Brauche dringend Hilfe !
1 Antwort
Aus
ergibt sich
Den Ausdruck auf der rechten Seite setzt du nun für h in die Flächenformel ein. Du erhältst für die Fläche einen Ausdruck, in dem nur noch r als Variable vorkommt. (U ist als konstant anzusehen, das ergibt sich aus der Formulierung "bei gegebenem Umfang U" der Aufgabenstellung). Du kannst jetzt also nach r ableiten, um das Maximum des Flächeninhalts zu bestimmen.
Der erfahrene Rechenkünstler rechnet sogar noch kürzer, weil er sieht, dass es genügt, die Umfangsformel nach 2*h umzustellen:
was in den Flächenformel eingesetzt werden kann, da in der Flächenformel ja auch 2*h steht.
natürlich hast du U als Variable . Aber ohne dass die U konkret als Zahl gegeben ist , kommt man auch nicht zu der Lösung -U/(-pi - 4) = r
Es sei denn , genau das ist gewünscht ( Allgemein durchrechnen , weder r noch h noch U sind bekannt , trotzdem gibt es Formel für die Lösung
U bleibt nach der Ersetzung von h in der Formel stehen, ist aber als konstanter Wert zu betrachten. Daher ist r die einzige in der Flächenformel verbliebene Variable und nach der kannst du ableiten.
Die Ableitung von U*r^2 nach r ist dann natürlich U*2*r, ganz entsprechend wie die Ableitung von 4*r^2 nach r eben 4*2*r ist. Wie schon gesagt: "Gegebener Umfang" bedeutet, dass ein Wert vorgegeben ist. Dass du für U keine Zahlenwert hast, ändert nichts daran, dass U konstant ist.
So weit war ich tatsächlich auch schon gekommen, aber beim Einsetzen hatte ich dann nicht nur r als Variable, sondern auch U. Kann ich die Variable U dann quasi weglassen oder habe ich beim Einsetzen für 2*h einen Fehler gemacht, denn es soll ja nur noch r als Variable vorkommen.