Wie kann ich den zweiten Punkt lösen?

Comments

[BorisG2011]

Diese Teilaufgabe ist nicht verständlich. Teile bitte den vollständigen Aufgabentext mit.

[Leoniee91]

Okay

[BorisG2011]

Ich habe die Rechnung auf zwei Antworten aufteilen müssen, das war ziemlich zeitraubend.

[Leoniee91]

Ich bräuchte eigentlich nur den zweiten punkt von b, aber jetzt hab ichs besser verstanden. Dankeeee

Answer 1

[BorisG2011]

Teilaufgabe a

Die beiden Zahlen lauten:

$z_1\ =\ 10\cdot a\ +\ b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ z_2\ =\ 10\cdot u\ +\ v$ Die Zahlen, die sich aus der Vertauschung der Zifferen ergebne, lauten daher

$z_1^{^V}\ =\ 10\cdot b\ +\ a\ \ \ \ \ \ \ z_2^{^V}\ =\ 10\cdot v\ +\ u$ Jetzt können wir die Produkte ausrechnen. Die vereinfachten Ergebnisse lauten:

$z_1\cdot z_{2\ }=100\cdot a\cdot u\ +\ 10\cdot\left(a\cdot v\ +\ b\cdot u\right)\ +\ b\cdot v$ $z_1^{^V}\cdot z_2^{^V}\ =\ 100\cdot b\cdot v\ +\ 10\cdot\left(a\cdot v\ +\ b\cdot u\right)\ +\ a\cdot u$ Diese beiden Produkte müssen wir gleichsetzen und soweit als möglich vereinfachen. Der Gang der Rechnung ist:

$10\cdot au\ +\ 10\cdot\left(av\ +\ bu\right)\ +\ bv\ =\ 100\cdot bv\ +\ 10\cdot\left(av\ +\ bu\right)\ +\ au$ Daraus:

$99\cdot au\ =\ 99\cdot bv$ und daraus

$a\cdot u\ =\ b\cdot v$ Dieses Teilergebnis steht steht im Aufgabentext als 2. Punkt der Teilaufgabe a.

(Fortsetzung folgt)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Answer 2

[BorisG2011]

Teilaufgabe b:

Verlangt ist, Zahlen a, b, v, u zu finden, so das die hergeleitete Gleichung erfüllt ist. Das hört sich schwer an. Die zündende Idee ist, für a eine einstellige Zahl zu wählen, die zwei Primfaktoren enthält und für b eine Primzahl. Dann versucht mann, einen der Primfaktoren aus a herauszuteilen und die Zahl b mit ihm zu multipliziern. Wenn das Produkt immer noch einstellig ist, hat man gewonnen.

Erstes Beispiel:

$4\cdot3\ =\ 2\cdot6$ Der Faktor 2 wird aus der 4 abgespalten und in die 3 multipliziert.

Zweites Beispiel:

$6\cdot4\ =\ 3\cdot8$ Der Faktor 2 wird aus der 6 abgespalten und in die 4 multipliziert.

Teilaufgabe b, 2. Teilpunkt

Zu zeigen ist, dass es kein nichttriviales Beispiel gibt, bei dem die Zehnerziffer der einen Zahl gleich ist der Einerziffer der anderen Zahl.

Wir nehmen an, dass die Zehnerziffer der Zahl z1 der Einerziffer der Zahl z2 gleich ist. Dann gilt: a = v

Einsetzen in das Ergebnis der Teilaufgabe a, 2. Punkt gibt:

$a\cdot u\ =\ b\cdot a$ woraus folgt:

$u\ =\ b$ also gilt

$z_1\ =\ 10\ \cdot\ a\ +\ b\ \ \ \ \ \ z_2\ =\ 10\cdot b+a$ Das sind gerade die in der Einleitung der Aufgabe erwähnten trivialen Varianten, bei denen sich die Ziffern nur in der Reihenfolge unterscheiden.

Bei der Teilaufgabe 2, zweiter Punkt wird im übrigen stillschweigend vorausgesetzt, dass keine der Ziffern a, b, u, v den Wert Null annimmt.

Ich hoffe mal, dass ich mich nirgends vertippt habe. Ich werde das nochmals kontrollieren, und im Zweifel bitte nachfragen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik