Wie kann ich Prüfen ob ein Punkt im Dreieck liegt?
Ich habe wie gesagt eine Aufgabe, bei der ich Prüfen soll, ob der Punkt S(3/3/6) im Dreieck PQR mit P(1/0/2), Q(3/2/4) und R(2/2/5) liegt. Nun frage ich mich wie ich da am besten herangehe... Würde mich über einen Ansatz freuen.
4 Antworten
PQR bildet eine Ebene im IR³. Nun gilt es die Ebenengleichung dafür aufzustellen. Ich nehme an, dass ist schon behandelt worden, oder? (Man suche einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Wenn ich mich richtig erinnere, benötigt man dafür das Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen. Senkrecht deswegen, weil das Skalarprodukt dieses Vektors mit allen in der Ebene = 0 wird.)
Ist die Ebenengleichung gefunden, nur noch den Vektor des fraglichen Punktes S einsetzen und schauen, ob der die Ebenengleicung erfüllt oder nicht => liegt in der Ebene oder nicht.
Also wirklich nur ebenengleichung und dann den punkt einsetzen? war mein gedanke ja richtig, hätt nur gedacht da kommt noch was danach :D
Das reicht aber nicht. Mit dieser Methode kannst du zwar zeigen, ob der PUnkt in der Ebene des Dreiecks liegt, aber nicht, ob er auch im Dreieck selbst liegt.
Originelle Frage, die ich so noch nie hörte, musste ein wenig nachdenken, glaube aber die Lösung zu haben:
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Wenn Du einen beliebigen Punkt innerhalb(also ohne Rand) des Dreieckes besitzt, kannst Du diesen stets wie folgt erreichen:
Du fährst bei P startend die Gerade PQ entlang, dann biegst Du an geeigneter Stelle parallel zu QR ab und triffst den Punkt, formal:
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Für alle Punkte S innerhalb des Dreieckes PQR muß es 0<x<1 und 0<y<x geben, mit:
P+xPQ+yQR=S.
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Im vorliegenden Fall:
(1/0/2)+x(2/2/2)+y(-1/0/1)=(3/3/6)
Weil die 2.Komponente nur bei(2/2/2) NICHT Null ist, muss also x=1,5 sein, Widerspruch zur Forderung(x<1), also liegt S außerhalb des Dreiecks.
In welcher Klasse bist Du denn? - Man kann das auf ganz verschiedene Arten lösen. Dazu müßte man wissen, was gerade bei Euch "Thema" ist.
Sicherlich habt Ihr doch auch allerlei ähnliche Aufgaben in der Schule schon besprochen.
dreizehnte Klasse, kurz vor dem Abitur... Wir haben analytische Geometrie, also alles rund um Vektoren. Würd versuchen, erst zu prüfen ob es auf einer ebene liegt, obwohl ich nich weiß ob das relevant ist, müsste aber theoretisch... und dann steh ich aufn schlauch
Ich würde es zeichnen. Allerdings macht mich gerade stutzig, dass da pro Punkt drei Werte angegeben sind.?
In der Geometrie gibt es immer zwei Wege. Wenn Du den "rechnerischen" beschreiten musst, kann ich Dir nicht helfen. Dafür reichen meine Mathekenntnisse nich aus. Eine Zeichnung "beweist" sehr wohl, wo der Punkt liegt. Aber das Ding scheint ja dreidimensional zu sein.
In der Aufgabe steht nur das ich es mit Nachweis untersuchen soll, also denk ich mal das rechnerisch gemeint is ;)
Anhand einer Skizze kann ich aber keinen Beweis führen.