Wie berechnet man hier die Extremstelle(Funktionenscharen)?

Comments

[evtldocha]

Steht da ganz am Anfang $f_a\left(x\right)=-\frac{1}{a^2}x^3\ +\frac{3}{a}x^2$ ?

[Zafer14]

Ja

Answer 1

[evtldocha]

Danke für die Antwort auf die Nachfrage:

In Deinen Ableitungen taucht dann seltsamerweise im zweiten Term ein a² im Nenner auf. Korrekt wären dann:

$f'\left(x\right)=-\frac{3}{a^2}\cdot x^2+\frac{3\cdot2}{a}\cdot x\ =-\frac{3}{a}\cdot x\cdot\left(\frac{x}{a}-2\right)$ $f''\left(x\right)=-\frac{6}{a^2}x+\frac{6}{a}$ $f'''\left(x\right)=-\frac{6}{a^2}\ <0$

Extremwerte (Satz vom Nullprodukt, weswegen ich oben schon ausgeklammert habe): $f'\left(x\right)\ =\ 0\ \rightarrow\ x_1=0;\ x_2=2a$

Erste Nullstelle x=0: $f''\left(0\right)=\frac{6}{a}$

Das heißt:

Bei x=0 ist ein Maximum, falls a<0, denn dann f''(0)<0
Bei x=0 ist ein Minimum, falls a>0, denn dann f''(0)>0

Zweite Nullstelle x=2a: $f''\left(2a\right)=-\ \frac{6}{a^2}\cdot2a+\frac{6}{a}=-\frac{12}{a}+\frac{6}{a}=-\frac{6}{a}$

Und damit - wie es für eine Funktion der Potenz 3 sein muss - gilt:

Bei x=2a ist ein Minimum, falls a<0, denn dann f''(2a) >0
Bei x=2a ist ein Maximum, falls a>0, denn dann f''(2a) <0