Welcher einer Kugel einbeschriebene Kreiskegel hat die maximale Mantelfläche?
2 Antworten
Hallo,
kleiner Tipp: Setze den Kreisradius gleich 1, dann hast Du eine Unbekannte aus dem Spiel. Die Formel für den Kegelmantei ist M=pi*r*s. Da pi eine konstante Größe ist, reicht es, r*s maximal werden zu lassen.
Der Radius und die Seitenlänge des Kegels hängen über die die Kreisgeometrie zusammen. Hier hilft Pythagoras weiter.
Mach Dir eine Zeichnung.
Du wirst sehen, daß die Mantelfläche dann am größten ist, wenn der Radius des Kegels gleich dem Kreisradius ist.
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Leider bezog sich meine Antwort nur auf einen Kegel, der einer Halbkugel einbeschrieben ist, aber wir haben es ja mit einer Kugel zu tun..
Da geht man besser trigonometrisch heran. Zeichne einen Kreis (Querschnitt der Kugel) mit Radius 1. Zwei Kreisradien bilden einen Winkel zwischen 0 und 180°. Stell Dir zwei Uhrzeiger vor, deren einer oben auf der 12 steht, der andere zwischen der 12 und der 6.
Die Verbindung zwischen den beiden Punkten am Kreis, auf die die Zeigerspitzen zeigen, sei s, die Seitenlinie des gesuchten Kegels, das Lot des von 12 verschiedenen Punktes auf einen Zeiger, der auf 3 zeigt, ist r, der Radius des Kegels.
Der Winkel zwischen den Zeiger sei phi.
Dann giltr nach dem Kosinussatz:
s²=1²+1²-2*1*1*cos (phi)=2-2cos(phi), daher s=Wurzel (2-2cos(phi)) und r=cos |90-phi|=sin (phi).
Zu maximieren ist r*s, also sin(phi)*Wurzel (2-2cos(phi)).
Abgeleitet ergibt das nach der Produkt- und Kettenregel
cos(phi)*Wurzel (2-2cos(phi))+sin²(phi)/Wurzel (2-2cos(phi)).
Durch Erweiterung mit der Wurzel macht man den Bruch gleichnamig und setzt den Zähler gleich Null, wobei cos(phi) nicht 1 werden darf, da sonst der Nenner Null würde, also phi=0 fällt von vornherein flach.
Nach der Erweiterung interessiert der Nenner ansonsten nicht weiter; der Zähler sieht so aus:
cos(phi)*(2-2cos (phi))+sin²(phi).
sin²(phi) wird durch 1-cos²(phi) ersetzt, der erste Summand ausmultipliziert und alles gleich Null gesetzt:
2cos(phi)-2cos²(phi)+1-cos²(phi)=0
-3cos²(phi)+2cos(phi)+1=0
Teilen durch -1/3:
cos²(phi)-2/3cos(phi)-1/3=0
pq-Formel ergibt für den Kosinus die Lösungen 1/3+/-Wurzel (4/9)=1 oder -1/3.
Da die 1 als Lösung bereits ausgeschlossen werden mußte, bleibt nur -1/3.
Zu dem Kosinus -1/3 gehört der Winkel phi=109,4712206.
Den in die Bestimmungsgleichungen für r und s eingesetzt ergibt
r=0,9428090416 und s=1,632993162, was bei einer Kugel vom Radius 1 zu einer Mantelfläche von 1,539600718*pi FE für einen Kegel, der einer Einheitskugel einbeschrieben wurde.
Bei einer anderen Kugel mußt Du r und s jeweils mit R, dem Kugelradius multiplizieren bzw. die Mantelfläche mit R². Die Verhältnisse bleiben ja erhalten - Kugel ist Kugel.
Herzliche Grüße,
Willy
Noch ein Tipp: Ableiten bringt hier nicht viel. Achte lieber auf die Randbedingungen. Wenn r*s maximal, dann auch r²*s². Damit wird es einfacher.
Danach überlegen, wieso der Funktionswert bei x=1 am höchsten sein muß.
Zielfunktion: Mantel=2r²-2r²*Wurzel (1-r²) mit r gleich Kegelradius und 0<=r<=1.
Achte auf die Erweiterung meiner Antwort. Mein Ergebnis war nicht korrekt.
Du benötigst die Formel für den Kegelmantel (M_Kegel). Dieser kann abhängig von dem Kegelradius und der Höhe des Kegels bestimmt werden.
M_Kegel = f(h_Kegel, r_Kegel) → Max.
Von den 2 Unbekannten muss eine ersetzt werden. Als Nebenbedingung bietet sich der Pythagoras an, um eine Beziehung zwischen r_Kegel und r_Kugel herzustellen:
r_Kegel² + (h_Kegel - r_Kugel)² = r_Kugel²
Die Nebenbedingung kannst Du nach r_Kegel umstellen und in die Extremalbedingung einsetzen.
Damit solltest Du weiterkommen und h bestimmen können.