Was ist der Unterschied zwischen herausheben und faktorisieren und ausklammern (Mathematik)?

Herausheben? Habe ich noch nie gehört. Das soll ein mathematischer Begriff sein??

Faktorisieren und Ausklammern ist aus meiner Sicht genau dasselbe.
Ausklammern hat seinen Namen daher, dass ein Term so umgeformt wird, dass ein gemeinsamer Faktor, der in allen Summanden eines Termes vorkommt, außerhalb einer Klammer geschrieben werden kann; die übrigbleibenden Faktoren stehen dann in der Klammer.
Beispiel: 6ax + 8bx = 2·3·a·x + 2·4·b·x = 2x·(3a + 4b).

Faktorisieren macht genau dasselbe. Nur hier wird der Schwerpunkt der Bezeichnung darauf gelegt, dass das Ergebnis des Ausklammerns ein Produkt ist, das aus 2 Faktoren besteht; aus einer Summe ist ein Produkt geworden: Beispiel: 6ax + 8bx = 2x ● (3a + 4b).

Übrigens: In jedem Fall hast Du hier das Distributivgesetz angewendet. :-)
Wenn Du die Terme "von rechts nach links" umformst, nennt man das "Klammer auflösen".

ausklammern oder herausheben -->

4 * x ^ 3 + 2 * x ^ 2 + 8 * x = 2 * x * (2 * x ^ 2 + x  + 4)

faktorisieren -->

x ^ 2 + 3 * x + 2 = (x + 1) * (x + 2)

mit faktorisieren ist teilweise auch ausklammern gemeint.