Was bedeutet in der Maßtheorie df/dg (Siehe Bild)?
Hallo. f << g bedeutet das f absolut stetig bezüglich g ist. Also aus g(N) = 0 => f(G)=0. Wobei f und g Maße sind. Nun sind o und mu signierte maße mit den gewünschten Eigenschaften im Bild. Was jedoch bedeutet jedoch do/dv (w)? Wofür steht das d und wie genau wird das geteilt? Danke
2 Antworten
Das ist die Radon-Nikodym Ableitung.
Wenn mu << ny gilt, gibt es eine Funktion f, sodass für jede messbare Menge A gilt, dass das mu(A) gleich dem Integral von f über A bezüglich dem Maß ny ist.
f ist fast sicher eindeutig, deswegen bezeichnet man f auch mit dmu/dny
Siehe auch:
Das d und der Bruch mit einem d im Zähler und einem d im Nenner kommt aus der Leibniz-Formulierung der Ableitung. Man spricht von "Differential-Quotienten" - in der üblichen Auffassung sind dies Symbole, die starke Ähnlichkeiten mit Brüchen aufweisen, aber keine Brüche sind.
Hier wird nicht eine Funktion nach (einer) ihrer Variablen abgeleitet, sondern ein Maß nach einem anderen.
(Recherche https://www.google.com/search?q=Ableitung+Ma%C3%9F+nach+Ma%C3%9F führt zu)
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Radon-Nikod%C3%BDm
(Die Integrale auf dieser Seite, mit dµ, nennen sich übrigens Stieltjes-Integrale.)
Falls der Maßraum eindimensional ist und alle Funktionen "anständig" sind, gilt übrigens
d phi phi'(x)
------- (x) = ---------
d ny ny'(x)
(was das Verstehen hoffentlich etwas erleichtert)