Warum muss die Anzahl der Elemente in einem endlichen Körper immer eine Primzahl(potenz) sein?
Frage steht im Titel.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/segler1968/1445623345022_nmmslarge__293_57_1378_1378_d8baea209967eda6fd8af3d4a4a514bc.jpg?v=1445623347000)
Was für Elemente in welchem Körper? In meinem Körper habe ich zehn Finger, die sind nicht prim ;-)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Das ist mathematik :)
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/RitterToby08/1584378644394_nmmslarge__43_0_196_196_060359107108e9d78f799637f51e4c9d.png?v=1584378644000)
Das liegt daran, dass die Charakteristik jedes endlichen Körpers K eine Primzahl p ist:
Falls p×1=0 und p=a×b muss bereits p=a oder p=b gelten, da es in einem Körper keine Nichtnullteiler gibt.
Deshalb kannst du Z/pZ als Unterkörper von K auffassen und K als Vektorraum über Z/pZ betrachten. Da K endlich ist, ist der Grad n der Körpererweiterung endlich. D.h. die Dimension von K als Z/pZ Vektorraum ist gleich n und endlich. Also ist K isomorph zu (Z/pZ)^n und hat daher p^n Elemente.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
Du meinst endliche Körper.
Man betrachte die Elemente 1, 1+1, ..... allgemein n*1, wobei es die 1 aus dem Körper ist. Wegen der Endlichkeit ist irgendwann Schluss, d.h. es gibt ein n so dass n*1 = 0.
Das kleinste natürliche n mit dieser Eigenschaft muss eine Primzahl sein, sonst wäre n = a * b zerlegbar in natürliche Zahlen > 1, dann ist a * (b * 1) = 0, also schon b * 1 = 0, da der Körper nullteilerfrei ist. Das wäre wegen b<n ein Widerspruch.
Auf diese Art kommt schon mal die Primzahl p(=n) ins Spiel. Um es abzukürzen, führt die Tatsache dass p*1 = 0 zum Primkörper, das ist der kleinste Körper, der im ursprünglichen Körper enthalten ist. Der Primkörper hat p Elemente. Der ursprüngliche Körper ist ein m-dimensionaler Vektorraum über dem Primkörper und hat darum p^m Elemente, denn aus einer m-elementigen Basis und p Skalaren kann man p^m Elemente linear kombinieren.