Warum 1/4 des Dosenumfangs?
Das Ergebnis der Aufgabe habe ich, nur frage ich mich warum man nur 1/4 des Dosenumfangs nimmt.
4 Antworten
Umfang wäre ja einmal ganz um den Körper rum
1/4 weil a) ein Teil der Dose + b) Weg zur nächsten Dose
Gefragt ist nach der länge der roten Linie.
Einmal ganz ausführlich beginne ich an der linken oberen Dose oben in der Mitte. Bis zum rechten Rand der Dose ist das Band …
r
… lang. Es folgen zwei „ganze“ Dosen im Durchmesser, also …
2 • d = 4 • r
… dann von der Kante der oberen rechten Dose bis oben in die Mitte derselben …
r
… von dort bis rechts in die Mitte ist es ein Viertelkreis, also ein Viertel des Umfangs einer Dose …
π/2 • r
… von dort bis zur unteren Kante der Dose …
r
… bis zur Mitte rechts der unteren rechten Dose …
r
… in einem Viertelkreis um die „Ecke“ bis zur unteren Mitte derselben Dose …
π/2 • r
… ist das jetzt die Hälfte des Weges. Wir müssen also nur aufsummieren …
r + 4r + r + π/2r + r + r + π/2r = 8r + πr
… und verdoppeln …
2 (8r + πr) = 16r + 2πr
Das ergibt eine Summe aus dem Umfang einer Dose und deren 16-fachem Radius.
Vier Viertelumfänge an den „Ecken“ ergeben einen ganzen.
Betrachte die folgende Skizze.
Die in der ursprünglichen Skizze rot markierte Linie setzt sich in meiner Skizze aus 4 blau markierten Teilen und 16 dunkelgrün markierten Teilen zusammen.
Die 16 grün markierten Teile entsprechen von der Länge her jeweils dem Radius r = 5 cm.
Die 4 blau markierten Teile entsprechen von der Länge her jeweils 1/4 des Dosenumfangs. (Ich denke darauf hast du dich bezogen, oder?)
Der Umfang einer Dose ist 2π ⋅ r.
Für die Länge des Bandes erhält man dann...
Insgesamt musst du 4 * 1/4 des Dosenumfangs nehmen - für jede abgerundete Ecke des Quasi-Rechtsecks 1/4.
Insgesamt acht mal den Durchmesser und dazu insgesamt einmal den Dosenumfang.