Wann wiederholt sich das Datum samt Wochentag?

Question

Hallo,

ich bin gerade am Herumdiskutieren mit meinem Vater. Das Thema ist folgendes: Wann fallen die Wochentage wieder auf das Gleiche Datum? Und; gibt es ein Muster bzw. eine Formel, nach der man dies berechnen kann?

Der 31.12.2012, heute, ist ein Montag. Das letzte Mal war der 31.12.2007 ein Montag. Dann 2001,1990, 1984, 1979, 1973, 1962, 1956, 1951 usw. (wir haben das Muster bis 1906 zurückverfolgt)

Daraus ergeben sich folgende Jahresabstände: 6 Jahre, 5 Jahre, 6 Jahre, 11 Jahre, 6 Jahre, 5 Jahre, 6 Jahre, 11 Jahre usw.

Wo ist da der Zusammenhang? 1959 war der 31.12. (Montag) ein Schaltjahr. Hat das was miteinander zu tun?

Naja, meine Hauptfrage ist, nach welchem Muster das alles geht.

Ich hab im Internet schon danach recherchiert, aber da habe ich keine klaren Antworten gefunden. Wär cool, wenn uns jemand helfen könnte! :)

Und, was geht außerdem über ein bisschen Logik und Mathematik am Silvesterabend? :b

TomLamp · Answer

Woher die 5,6 und 11 Jahre Abstand kommen wurde ja schon gut erklärt. Es liegt an der Anzahl der Schaltjahre in diesem Zeitfenster. Aber wenn man die Regeln des Schaltjahres beachtet findet man auch andere Abstände.

2100 ist beispielsweise kein Schaltjahr. Somit kann man ein Zeitfenster von 7 Jahren definieren in dem sich kein einziges Schaltjahr befindet und man kommt auch auf Abstände von 7 Jahren oder 12 Jahren.

Beispiel 1.1.2097 = 1.1.2104 = Dienstag mit 7 Jahren Abstand

bzw. 1.1.2098 = 1.1.2110 = Mittwoch mit 12 Jahren Abstand

SammyW · Answer

Wie TeeEi schon gesagt hat verschiebt sich der Wochentag im nächsten Jahr um einen Tag. (Montag der 31.12.12, Dienstag der 31.12.13). Es würde also sieben Jahre dauern bis der 31.12 wieder ein Montag ist. Jetzt kommen aber die Schaltjahre ins Spiel. Beim Schaltjahr verschiebt sich der Wochentag um zwei Tage (Samstag der 31.12.11, Montag der 31.12.12), so dauert es nicht mehr so lang bis der 31.12 wieder ein Montag ist weil ein Wochentag übersprungen wird. Man rechnet also 7 - Anzahl der Schaltjahre in den nächsten sechs Jahren.

(x) Nächste Übereinstimmung von Tag und Datum = (j) Ausgangsjahr + (7 - (s) Anzahl der Schaltjahre in den nächsten sechs Jahren)

x = 2012 + (7 - 1)

x = 2018

Ist das nächste Schaltjahr jedoch schon in zwei Jahren (z.B. 1992 - 1990 = 2) so funktioniert diese Rechnung nicht, weil der gewünschte Wochentag übersprungen wird. Hier dauert es bis zur nächsten Übereinstimmung von Wochentag und Datum immer 11 Jahre (z.B. 2001).

JanSmaus · Answer

Ich möchte eine Alternative zu Dietmar Bakels Erklärung versuchen, hätte es aber selbst auch noch gerne etwas knackiger ...
Man stelle sich zunächst vor, es gäbe keine Schaltjahre: dann würde sich der Wochentag, auf den ein gegebenes Datum (z.B. 1.1.) fällt, stets um einen Tag verschieben, in 7 aufeinanderfolgenen Jahren fiele der 1.1. also auf einen Montag, dann auf einen Dienstag ... bis sich alles wiederholt, d.h., immer nach genau 7 Jahren fiele der 1.1. wieder auf einen Montag. Nun nehme man, aus Gründen, die erst später klar werden, das Ganze 5 mal, also 35 Jahre, am anschaulichsten in einem Kreis angeordnet (denn schließlich wiederholt sich das Ganze ja immer wieder). 
Und jetzt führe ich die Schaltjahre wieder ein, und zwar, indem ich aus den 35 Jahren jedes fünfte Jahr herausschneide, somit also genau sieben Jahre herausschneide, und mir 28 Jahre verbleiben. Da die Zahlen 5 und 7 teilerfremd sind, ist es eleganterweise so, dass in den herausgeschnittenen Jahren der 1.1. je einmal auf jeden Wochentag fiel, und in den verbliebenen 28 Jahren der 1.1. je 4 mal auf jeden Wochentag fällt. 
Durch das Herausschneiden wurde aber die schöne Eigenschaft zerstört, dass der 1.1. alle 7 Jahre auf einen Montag fällt, vielmehr reduziert sich dieses Intervall um 1 oder 2, je nachdem, ob 1 oder 2 herausgeschnittene Jahre auf dem jeweiligen Kreisabschnitt liegen. So kommt man auf die Zahlen 5 bzw. 6. Und wie auf die 11? Nun, hier wurde gerade das "Montagsjahr" selbst herausgeschnitten, plus zwei weitere Jahre, somit 14 - 3 = 11. 
Naja, und es bleibt gar nicht anderes übrig, dass 5 + 6 + 6 + 11 = 28 sein muss :-)

TeeEi · Answer

Ganz einfach. Ein Jahr hat 365 Tage. Schaltjahr hat 366 Tage. Wenn wir vom heutigen Datum ausgehen, bis zum nächsten 31.12. liegen 365 Tage (das Jahr 2013) dazwischen, 365/7=52 mit Rest 1, d.h. der Wochentag wird um einen Tag verschoben (nämlich auf Dienstag). Dann das Jahr 2014, der Wochentag wird wieder um einen Tag verschoben. 2015 wird wieder um einen Tag verschoben. 2016 ist ein Schaltjahr, 366/7=52 mit Rest 2, d.h. der Wochentag wird in diesem Jahr um zwei Tage verschoben. 2017 um einen Tag, 2018 um einen Tag. Da wird der Wochentag zu 2012 um sieben Tage verschoben, also wieder auf einen Montag.

Wie man sieht, kommt es auf den Rest an. Man kann jetzt eine Formel mit modulo aufstellen, aber das wäre unnötig kompliziert. Nach einem normalen Jahr wird der Wochentag um einen Tag verschoben, nach einem Schaltjahr um zwei Tage. Man addiert diese Tage also so lange zusammen, bis man einen Vielfachen von sieben hat. Das lässt sich sicherlich auch ganz einfach mit einer Tabellenkalkulation machen. Da kann man auch die Jahre der gleichen Restklassen kennzeichnen.

DietmarBakel · Answer

Ist mir auch zu kompliziert, dass Muster in eine schlanke Formel zu kleiden.

Als weiteren Diskussionsstoff mit Deinem Vater empfehle ich dazu:

http://de.wikipedia.org/wiki/Sonntagsbuchstabe

Es gibt halt Nichts womit man sich nicht beschäftigen kann (nicht abwertend gemeint - find es selbst interessant).

Wann wiederholt sich das Datum samt Wochentag?

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