Sind vereine z.b. fußball öffentliche oder private einrichtungen?

Bei einem Verein - eingetragener Verein - handelt es nicht um eine öffentliche Organisation. Das Vereinsrecht ist im bürgerlichen Gesetzbuch geregelt. Die Vereine regeln ihre Angelegenheiten in der Satzung. Dort können sie eigenständig entscheiden, wer z. B. Mitglied werden darf und wie hoch die Beiträge sind. Sportvereine sind häufig gemeinnützige Vereine, d. h. sie haben keine Gewinnerzielungsabsichten. Deswegen lagern viele Vereine - gerade größere Vereine - die wirtschaftlichen Interessen aus (z. B. den Verkauf von Fanartikeln). Hierfür werden dann regulär Steuern abgeführt, während der eigentliche Vereinsbetrieb von der Körperschaftssteuer befreit ist.

Profiklubs sind teilweise kapitalgesellschaften, "normale" vereine sind e.V.

Es sind private V E R E I N E wie du es schon gesagt hast ;)

privat natürlich