Sei ak das k-te Element einer arithmetischen Folge. Ferner gelte −3a5 + 2a9 = 31 2a12 − 4a17 = −288 Bitte bestimmen Sie a1.?
Hallo! Ich brauche bitte Hilfe bei der Frage zu den arithmetischen Folgen. Ich verstehe nicht wie man a1, bzw. zuerst die Konstante d errechnet.
Vielen Dank im Voraus!
Kannst du mal diese Gleichung prüfen und allenfalls korrigieren, was soll die 31?
Was soll ich denn da korrigieren? Das sind zwei Gleichungen:
-3a5+2a9=31
2a12-4a17=-288
LG
1 Antwort
In einer arithmetischen Folge ist das \( n \)-te Element definiert als:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]
wobei \( a_1 \) das erste Element der Folge und \( d \) die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Elementen ist.
Gegeben sind zwei Gleichungen:
1. \( -3a_5 + 2a_9 = 31 \)
2. \( 2a_{12} - 4a_{17} = -288 \)
Nun setzen wir die Formel für das \( n \)-te Element der arithmetischen Folge in diese Gleichungen ein.
Für \( a_5 \) und \( a_9 \) haben wir:
\[ a_5 = a_1 + 4d \]
\[ a_9 = a_1 + 8d \]
Setzen wir diese in die erste Gleichung ein, erhalten wir:
\[ -3(a_1 + 4d) + 2(a_1 + 8d) = 31 \]
\[ -3a_1 - 12d + 2a_1 + 16d = 31 \]
\[ -a_1 + 4d = 31 \]
\[ a_1 = 4d - 31 \] (Gleichung 3)
Für \( a_{12} \) und \( a_{17} \) haben wir:
\[ a_{12} = a_1 + 11d \]
\[ a_{17} = a_1 + 16d \]
Setzen wir diese in die zweite Gleichung ein, erhalten wir:
\[ 2(a_1 + 11d) - 4(a_1 + 16d) = -288 \]
\[ 2a_1 + 22d - 4a_1 - 64d = -288 \]
\[ -2a_1 - 42d = -288 \]
\[ a_1 = 21d - 144 \] (Gleichung 4)
Jetzt haben wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (\( a_1 \) und \( d \)). Um \( a_1 \) zu finden, setzen wir Gleichung 3 und Gleichung 4 gleich:
\[ 4d - 31 = 21d - 144 \]
\[ 17d = 113 \]
\[ d = \frac{113}{17} \]
\[ d = 6.64706 \] (ungefähr)
Jetzt setzen wir \( d \) in Gleichung 3 oder 4 ein, um \( a_1 \) zu finden:
\[ a_1 = 4d - 31 \]
\[ a_1 = 4 \times 6.64706 - 31 \]
\[ a_1 = 26.58824 - 31 \]
\[ a_1 = -4.41176 \] (ungefähr)
Da \( a_1 \) und \( d \) normalerweise ganzzahlig sind in arithmetischen Folgen (und die Frage impliziert dies auch), runden wir \( d \) auf 7, da die Division von 113