Schiefen Wurf, Formel Abwurfwinkel berechnen
Gegeben sind die Anfangshöhe h, Abwurfgeschwindigkeit v0, horizontale Distanz zum Aufschlagspunkt s, Gravitation g. Gesucht ist der Winkel α unter dem geworfen wird, so dass das Objekt in der Entfernung s aufschlägt.
Es wird davon ausgegangen, dass die Geschwindigekeit so groß ist, dass das Objekt das Ziel erreicht. Soweit ich weiß müsste es im Regelfall 2 Lösungen, eine Lösung über 45° und eine drunter geben. Die Anfangshöhe h verkompliziert die Sache irgendwie.
5 Antworten
Heureka! Das Koordinatensystem sei so gewählt, dass der Abwurfpunkt im Ursprung ist. Dann hat mit
x = v0 cos(α) * t
y = v0 sin(α) * t - g t² / 2
die Wurfparabel mit Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite die Form (vgl. 1. Antwort: )
p(x) = x tan(α) - g x²/ (2 v0² cos²(α));
sie enthält den Punkt ( s | -h ), also
-h = s tan(α) - g s²/ (2 v0² cos²(α));
mit 1/cos²(α) = (sin²(α) + cos²(α)) / cos²(α) = 1 + tan²(α) und u = tan(α) ist nur noch
-h = s u - (1 + u² ) g s²/ (2 v0²);
zu lösen. Also lässt sich der gesuchte Winkel in Abhängigkeit von v0 angeben mit:
tan(α) = (s v0² ± √(-g² s^4 +2g h s² v0² +s² v0^4)) / (g s²);
es gibt zwei Lösungen, wobei
- bei einer das Objekt den Scheitel einer Wurfparabel durchläuft (α>0),
- bei der anderen der (virtuelle) Scheitel des Wurfparabel hinter dem Abwurfpunkt liegt (α<0).
Folgendes stimmt eher. Auszuprobieren bleibt, ob es so leichter geht, oder nicht doch Isolieren von α aus der schon angegebenen Formel einfacher ist.
Die Wurfparabel sei so ergänzt, dass sie im Koordinatenursprung O eines xy-Systems auf der Höhe des Ziels beginnt.
- va Anfangsgeschwindigkeit
- β Abwurfwinkel zur Horizontalen in O
- t Zeit nach Abwurf
- g Fallbeschleunigung
Parameterdarstellung der Wurfparabel mit der Zeit als Parameter:
x = va t cos(β) ⇔ t = x / (va cos(β))
y = va t sin(β) - g t² / 2
Einsetzen von t ergibt die Koordinatengleichung der Parabel:
p(x) = [y =] x tan(β) - g x²/ (2 va² cos²(β))
Die zweite Nullstelle der Parabel ist x = s. Mit 2sin(β)cos(β) = sin(2β):
va² sin²(2β) / g = s, (1)
Die vertikale Komponente von va ist die Summe der vertikalen Komponente von v0 und der Geschwindigkeit, die erforderlich ist, damit das Objekt die Höhe h erreicht. Letztere ist so groß wie die Geschwindigkeit, die das Objekt bei (vertikalem) freien Fall aus Höhe h erreichen würde, also:
va sin(β) = v0 sin(β) + √[2 g h]; (2)
Darstellung von sin²(2β) mit (2):
sin(β) (va -v0) = √[2 g h]
sin²(β) = 2g h / (va -v0)² = u ⇔ va = √[2g h / u] +v0
cos²(β) = 1 - u
sin²(2β) = (2sin(β) cos (β))² = 4sin²(β)cos²(β) = 4u(1-u)
Durch Einsetzen in (1) lässt sich va bestimmen:
4 va² u(1-u) / g = s
4 (va u)² (1-u) / g = s u
4 (√[2g h u] + u v0)² (1-u) = g s u
wo bei "nur noch" die Lösung der quartischen Gleichung zu bestimmen ist, mit M'sochismus & Caradani-Formel oder alternativ Wolframalpha. Mit (2) bestimmst du β und kennst alle Koeffizienten von p(x).
h = p(x0) ergibt die x-Koordinate x0 des vorausgesetzten Abwurfpunktes als die kleinere Lösung der quadratischen Gleichung;
tan(α) = p'(x0) = tan(β) - x0 g / (va² cos²(β))
ist der Tangens des gesuchten Abwurfwinkels α.
v0 ist weder gegeben noch gesucht. Ich komme auf etwas Einfacheres, allerdings auf genau eine Lösung.
In einem geeigneten Koordinatensystem enthält die nach unten geöffnete Parabel p, die die Flugbahn des Objekts beschreibt, die Punkte ( x | y ) = ( 0 | h ) und ( s | 0 ) und hat die zweite Ableitung
p''(x) = -g ⇒
p'(x) = -gx + c; mit ( 0 | h ) ∈ p ⇒
p(x) = -gx²/2 +cx +h; mit ( s | 0 ) ∈ p ⇒
0 = -gs²/2 +cs +h ⇔ c = (g s² -2h) /(2s), da s ≠ 0;
tan(α) = p'(0) = c = gs/2 -h/s
STOPP erst einmal, ich fand einen Fehler; die Ausgangsüberlegung
p''(x) = -g
muss nicht stimmen. Gebesserte Version ist in Arbeit.
Ich stelle fest, dass v0 doch gegeben ist. Da aber im Aufgabentext steht:
"Es wird davon ausgegangen, dass die Geschwindigkeit so groß ist, dass das Objekt das Ziel erreicht.",
muss v0 nicht gegeben sein.
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/212954,0.html ; lange Formel in der Mitte
Du musst ihn kopieren, da ist das ,0.html sonst abgeschnitten.
ES ist wohl das Bild hier gemeint:
http://fed.matheplanet.com/mprender.php?stringid=14336246&mixmod=mix
Der Link funktioniert bei mir nicht