satz von euler fermat aufgabe?
hey leute wisst ihr wie man so eine aufgabe lösen kann?
Zeigen Sie, dass für alle a ∈ N, die teilerfremd zu 5 und 7 sind gilt, dass a^24 mod 35 = 1
1 Antwort
Ahoi!
Der Satz von Euler-Fermat besagt, dass für a, m ∈ N mit ggT(a, m) = 1 gilt: a^(φ(m)) ≡ 1 (mod m), wobei φ(m) die Eulersche Phi-Funktion ist, die angibt, wie viele zu m teilerfremde Elemente es gibt.
In diesem Fall ist m = 35 und φ(m) = φ(5 * 7) = φ(5) * φ(7) = 4 * 6 = 24.
Da a teilerfremd zu 5 und 7 ist, ist ggT(a, 35) = 1, und daher gilt nach dem Satz von Euler-Fermat:
a^(24) ≡ 1 (mod 35)
Dies bedeutet, dass a^(24) - 1 durch 35 teilbar ist. Da a teilerfremd zu 5 und 7 ist, ist a auch teilerfremd zu 35, und daher kann a^(24) - 1 nicht durch 5 oder 7 teilbar sein.
Da a^(24) - 1 durch 35 teilbar ist, aber nicht durch 5 oder 7 teilbar ist, muss a^(24) - 1 ein Vielfaches von 35 sein. Da a^(24) - 1 jedoch kleiner als 35 ist, kann es nur gleich 0 sein, d.h. a^(24) = 1 (mod 35).
Daher haben wir gezeigt, dass für alle a ∈ N, die teilerfremd zu 5 und 7 sind, gilt, dass a^(24) mod 35 = 1.
Viele Grüße!
Da a^(24) - 1 durch 35 teilbar ist, aber nicht durch 5 oder 7 teilbar ist...
Da kann sich chatGPT offenbar nicht entscheiden ;-) Und schreibt kompletten Blödsinn.