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Also wie man auf die Formel kommt

Welche Formel? Dass der Impuls p = m * v ist, hat man in der Schule gelernt. Dass die Summe der Impulse vorher und nachher gleich ist, folgt aus dem Impulserhaltungssatz.

Jetzt muss man nur noch die Summe vorher feststellen, weder Kugel noch Gewehr in Bewegung, also 0. Und die Summe hinterher aufstellen: m(kugel) * v(kugel) + m(Gewehr) * v(Gewehr), und diese gleich 0 setzen.

und wieso der Impulserhaltungssatz eine Rolle spielt

Weil dieser immer gilt, und weil er meistens hilfreich ist bei Aufgaben, bei denen zwei Dinge zusammenstoßen (Aufgabe b) oder sich voneinander abstoßen (Ausgabe a).

Aufgabe b) ist soweit richtig, Aufgabe a) vernachlässigt gröblich die Realität: In die eine Richtung fliegt nicht nur das Geschoss, sondern auch das treibende Gas. In die andere fliegt nicht nur das Gewehr, sondern auch der Oberkörper des Schützen.

a) Impulserhaltung.

p(vor dem Sshuss)=p(nach dem Schuss)

0=p(Gewehr) + p (Kugel)

p (Kugel) = - p(Gewehr)

m(Kugel)v(Kugel) = - m(Gewehr)v( Gewehr)

b) Impulserhaltung.

p(vor dem Einschlag)=p(nach dem Einschlag)

m(Kugel)v(Kugel) = m(Kugel +Holz)v(Kugel +Holz)

m(Kugel)*v(Kugel)/m(Kugel +Holz) = v(Kugel +Holz)

m*v = konstant

Der Impulserhaltungssatz spielt eine Rolle, weil Actio=Reactio gilt (Newton). Wenn eine Kugel den Lauf verlässt, dann wird der Lauf, bzw eben der Spannhammer, der die Kugel wegstößt, selbst mit der gleichen Kraft zurückgestoßen wird.