Rechentrick - warum kommt am Ende immer die gleiche Zahl heraus?
Ich suche jemanden der mir folgenden Trick erklärt:
Suche dir eine Zahl zwischen 1-9 aus,
multipliziert mit 3,
dann 3 dazuzählen,
dann nochmals mit 3 multiplizieren und
zum Schluss die beiden Ziffern der Zahl zusammenzählen...
warum kommt immer 9 heraus?
3 Antworten
Weil die zahl zwangslufig durch neun teilbar sein muss. Als solche hat sie eine durch neun teilbare Quersumme. Wegen der Ausgangsbedingung muss sie auch kleiner als 90 sein, weshalb die Quersumme nicht 18 oder größer sein.
Hallo,
Du kannst sogar die Null verwenden für n, damit klappt der Trick auch.
So bekommst Du 3*(3n+3)=9n+9=9*(n+1)
Da n eine Zahl zwischen 0 und 9 ist, ist n+1 eine Zahl zwischen 1 und 10, die wir m nennen.
Du bekommst als Ergebnis also immer 9*m heraus und da m eine Zahl zwischen 1 und 10 ist, hast Du hier die Neunerreihe vom kleinen Einmaleins.
9,18,27...90
Die Quersumme dieser Zahlen ist immer 9, wie leicht durch Probieren nachzuweisen ist. Man kann es aber auch mathematisch beweisen:
9*m=10*m-m.
10*m-m=10*m-10+10-m, denn -10+10 heben sich auf.
Das ist gleich 10*(m-1)+10-m
Wenn Du die Ziffern einer zweistelligen Zahl addierst, berücksichtigst Du nicht ihren Stellenwert. Beispiel 27: Die 2 vorn bedeutet eigentlich 10*2=20, denn sie steht an vorletzter Stelle und da haben alle Ziffern den zehnfachen Wert.
Beim Addieren aber nimmst Du nur die Ziffer an sich, rechnest also nur mit einem Zehntel ihres eigentlichen Stellenwertes.
Die letzte Ziffer bleibt, wie sie ist.
Du rechnest also bei der 27 20/10+7=2+7=9
Übertragen wir das auf 10*(m-1)+10-m, dann hat die vorletzte Ziffer eben den Wert 10*(m-1), wir rechnen aber nur mit einem Zehntel, also nicht mit ihrem Stellenwert, sondern mit der Ziffer selbst, also mit m-1.
So kommen wir auf m-1+10-m. Da sich m-m aufhebt, bleibt -1+10=9.
Egal, wie groß also m ist, die Quersumme von 9*m ist immer gleich 9, solange m eine natürliche Zahl zwischen 1 und 10 ist.
Bei m=1 und 9m=9 liest Du 9 als 09.
Herzliche Grüße,
Willy
Die gedachte Zahl sei n
(n * 3 + 3 ) * 3 = n * 9 + 9 = 9 * (n+1)
Eine Zahl von 1 bis 10 wird also mit 9 multipliziert.
Die Quersumme einer ganzen Zahl, mit 9 multipliziert, ist immer durch 9 teilbar.
9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99,108,117, usw.
Der Trick würde also auch bei gedachten Zahlen grösser als 9 funktionieren.