Quadratzahl?
Kann eine Zahl 44…41, deren Dezimaldarstellung aus einer ungeraden Anzahl von Ziffern 4 gefolgt von einer Ziffer 1 besteht, eine Quadratzahl sein?
Das ist die Aufgabe 2 der 1. Runde des diesjährigen Bundeswettbewerbs Mathematik. Heute (4.3.) ist Einsendeschluss, die Post hat wohl schon zu, also darf man wohl im Internet darüber reden (wer diese Aufgabe jetzt noch nicht hat, wird wohl auch keine der anderen gelöst haben).
In meinem Beweis zeige ich, dass die oben beschriebene 2n-stellige Zahl zwischen den Quadraten von 66..66 und 66..67 (jeweils n Ziffern) liegt und deshalb selbst keine Quadratzahl sein kann.
Gibt es auch andere funktionierende Beweisideen?
Und: Warum kann man diese Frage nicht wieder einstellen?
1 Antwort
Ich meine, diese Frage wäre vor ein paar Wochen schon mal durchs Forum geschwirrt. Sie wurde - wohl entgegen der Intention des Autors - mit einer einfachen Modulo-Überlegung erledigt, wobei die Anzahl 4en völlig egal war. Könnte modulo 100 gewesen sein, vielleicht findest du die Frage noch.
Die ist der Wettbewerbsaufgabe erstaunlich ähnlich.
können nur solche Zahlen Quadratzahlen sein, deren Rest bei der Division durch 8 entweder 0, 1 oder 4 ergibt
Ja, das klappt bei 6..661, aber leider nicht bei 4...441
Vielleicht, wenn man mod 11 geht, bei ungerader Anzahl 4en scheint der Rest immer gleich 8 zu sein, das ist kein quadratischer Rest mod 11.
Stimmt, das ist wesentlich einfacher:
(1) Eine Quadratzahl modulo 11 ist immer 0, 1, 3, 4, 5 oder 9. Vgl. hier.
(2) Die fraglichen Zahlen lassen sich als 44 * 100^n + 41 mit n>0 darstellen, was bei Divison durch 11 offensichtlich den Rest 8 lässt.
Wegen (1) kann das also keine Quadratzahl sein.
So einfach kann das Leben sein. Danke!
Mein in der Fragestellung angedeuteter Beweis funktioniert zwar auch, ist aber viel aufwendiger im Aufschrieb und deutlich weniger elegant.
Habe ich leider(auf GF) nicht gefunden.
Wenn die Anzahl der 4en vor der 1 ungerade ist, kann es keine Quadratzahl sein. Für gerade Anzahl von 4 ist zumindest 441 = 21² ein Beispiel für eine Quadratzahl.